Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}-1}$，（x＞0）；
（1）求函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（ln2，f（ln2））處的切線方程；
（2）函數(shù)g（x）=$\frac{k}{x+1}$，（x＞0，k∈N^*），若f（x）＞g（x）在定義域內(nèi)恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)求在該點(diǎn)的斜率k=f'（ln2）=-2，利用點(diǎn)斜式求出方程；
（2）不等式可轉(zhuǎn)化為k＜$\frac{{e}^{x}（x+1）}{{e}^{x}-1}$，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)，設(shè)g（x）=$\frac{{e}^{x}（x+1）}{{e}^{x}-1}$，g'（x）=$\frac{{e}^{x}（{e}^{x}-x-2）}{（{e}^{x}-1）^{2}}$，二次求導(dǎo)令h（x）=e^x-x-2，h'（x）=e^x-1＞0，得出函數(shù)的最小值．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}-1}$，
∴f（ln2）=2，
f'（x）=$\frac{-{e}^{x}}{（{e}^{x}-1）^{2}}$，
k=f'（ln2）=-2，
∴切線方程為y=-2x+2ln2+2；
（2）f（x）＞g（x）在定義域內(nèi)恒成立，
∴$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}-1}$＞$\frac{k}{x+1}$，
∴k＜$\frac{{e}^{x}（x+1）}{{e}^{x}-1}$，
設(shè)g（x）=$\frac{{e}^{x}（x+1）}{{e}^{x}-1}$，g'（x）=$\frac{{e}^{x}（{e}^{x}-x-2）}{（{e}^{x}-1）^{2}}$，
令h（x）=e^x-x-2，h'（x）=e^x-1＞0，
h（x）在（0，+∞）遞增，
∵h(yuǎn)（1）=e-3＜0，h（2）=e²-4＞0，
∴存在x₀∈（1，2），h（x₀）=0，即g'（x₀）=0，
∵當(dāng)x∈（0，x₀），g'（x）＜0，g（x）遞減，
當(dāng)x∈（x₀，+∞），g'（x）＞0，g（x）遞增，
∴g（x）≥g（x₀）=x₀+2∈（3，4），
∴k的最大值為3．

點(diǎn)評(píng) 利用導(dǎo)數(shù)求切線方程是基礎(chǔ)題型，難點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)，利用二次求導(dǎo)，設(shè)出臨界值，最后得出函數(shù)的最小值．