Question

2．已知在等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a₂是a₁和a₃-1的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=2n-1+a_n（n∈N^*），求{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)公比為q，由a₁=1，則a₂=q，a₃=q²．再利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可得出；
（2）b_n=2n-1+a_n=2n-1+2^n-1．利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)公比為q，∵a₁=1，則a₂=q，a₃=q²．
∵a₂是a₁和a₃-1的等差中項(xiàng)．
∴2a₂=a₁+a₃-1，
∴2q=1+q²-1，
∵q≠0，解得q=2．
∴a_n=2^n-1．
（2）∵b_n=2n-1+a_n=2n-1+2^n-1．
∴{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=[1+3+…+（2n-1）]+[1+2+2²+…+2^n-1]
=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$+$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$
=n²+2ⁿ-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．