Question

15．已知x＞1，y＞1，求證$\sqrt{xy}$≥1+$\sqrt{（x-1）（y-1）}$．

Answer 1

分析 分析使不等式$\sqrt{xy}$≥1+$\sqrt{（x-1）（y-1）}$成立的充分條件，一直分析到使不等式成立的充分條件顯然具備，從而不等式得證．

解答 證明：由題意，即證明$\sqrt{xy}$-1≥$\sqrt{（x-1）（y-1）}$，
兩邊平方得：xy-2$\sqrt{xy}$+1≥xy-（x+y）+1，
只要證明：-2$\sqrt{xy}$≥-（x+y），
只要證明：2$\sqrt{xy}$≤x+y，
利用基本不等式，顯然成立，
∴$\sqrt{xy}$≥1+$\sqrt{（x-1）（y-1）}$．

點評 用分析法證明不等式，關(guān)鍵是尋找使不等式成立的充分條件．