14.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,滿足f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x-1.
(Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ) 若關(guān)于x的不等式f(x)-t>0在[-1,2]上有解,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(Ⅲ) 若函數(shù)g(x)=f(x)-mx的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(-1,2)和(2,4)內(nèi),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 (Ⅰ)通過f(0)=2,求出c,利用f(x+1)-f(x)=2x-1,求出a,b,得到函數(shù)的解析式.
(Ⅱ)求出函數(shù)f(x)的對稱軸,然后求解fmax(x),列出關(guān)系式即可求解實(shí)數(shù)t的取值范圍為(-∞,5).
(Ⅲ)g(x)=x2-(2+m)x+2,若g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(-1,2)和(2,4)內(nèi),利用零點(diǎn)存在定理列出不等式組求解即可.

解答 (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)由f(0)=2,得c=2,…(1分)
又f(x+1)-f(x)=2x-1,得2ax+a+b=2x-1,…(2分)
故$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=-1}\end{array}\right.$,解得:a=1,b=-2,…(3分)
所以f(x)=x2-2x+2.…(4分)
(Ⅱ)f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,對稱軸為x=1∈[-1,2],…(5分)
又f(-1)=5,f(2)=2,所以fmax(x)=f(-1)=5.   …(6分)
關(guān)于x的不等式f(x)-t>0在[-1,2]有解,則t<f(x)max=5,
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為(-∞,5). …(8分)
(Ⅲ)g(x)=x2-(2+m)x+2,若g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(-1,2)和(2,4)內(nèi),
則滿足$\left\{{\begin{array}{l}{g(-1)>0}\\{g(2)<0}\\{g(4)>0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{5+m>0}\\{2-2m<0}\\{10-4m>0}\end{array}}\right.$…(11分)
解得:$1<m<\frac{5}{2}$,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為$({1,\frac{5}{2}})$. …(12分)

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的最值的求法,零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力.

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成本y(萬元)78912
經(jīng)過分析,知道產(chǎn)量x和成本y之間具有線性相關(guān)關(guān)系.
(Ⅰ)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$;
(Ⅱ)試根據(jù)(1)求出的線性回歸方程,預(yù)測產(chǎn)量為10千件時(shí)的成本.

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