Question

14．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，滿足f（0）=2，f（x+1）-f（x）=2x-1．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ） 若關(guān)于x的不等式f（x）-t＞0在[-1，2]上有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ） 若函數(shù)g（x）=f（x）-mx的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間（-1，2）和（2，4）內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過f（0）=2，求出c，利用f（x+1）-f（x）=2x-1，求出a，b，得到函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的對稱軸，然后求解f_max（x），列出關(guān)系式即可求解實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-∞，5）．
（Ⅲ）g（x）=x²-（2+m）x+2，若g（x）的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間（-1，2）和（2，4）內(nèi)，利用零點(diǎn)存在定理列出不等式組求解即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由f（0）=2，得c=2，…（1分）
又f（x+1）-f（x）=2x-1，得2ax+a+b=2x-1，…（2分）
故$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=-1}\end{array}\right.$，解得：a=1，b=-2，…（3分）
所以f（x）=x²-2x+2．…（4分）
（Ⅱ）f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，對稱軸為x=1∈[-1，2]，…（5分）
又f（-1）=5，f（2）=2，所以f_max（x）=f（-1）=5．   …（6分）
關(guān)于x的不等式f（x）-t＞0在[-1，2]有解，則t＜f（x）_max=5，
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-∞，5）． …（8分）
（Ⅲ）g（x）=x²-（2+m）x+2，若g（x）的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間（-1，2）和（2，4）內(nèi)，
則滿足$\left\{{\begin{array}{l}{g（-1）＞0}\\{g（2）＜0}\\{g（4）＞0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{5+m＞0}\\{2-2m＜0}\\{10-4m＞0}\end{array}}\right.$…（11分）
解得：$1＜m＜\frac{5}{2}$，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為$（{1，\frac{5}{2}}）$． …（12分）

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的最值的求法，零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．