Question

8．一個彈性小球從10米自由落下，著地后反彈到原來高度的$\frac{4}{5}$處，再自由落下，又彈回到上一次高度的$\frac{4}{5}$處，假設(shè)這個小球能無限次反彈，則這個小球在這次運動中所經(jīng)過的總路程為（　�。�

• A． 50
• B． 80
• C． 90
• D． 100

Answer 1

分析 由題意得這個小球在這次運動中所經(jīng)過的總路程S_n=2×10+2×10×$\frac{4}{5}$+2×10×（$\frac{4}{5}$）²+2×10×（$\frac{4}{5}$）³+…+2×10×（$\frac{4}{5}$）ⁿ-10，由此利用極限思想能求出結(jié)果．

解答 解：∵一個彈性小球從10米自由落下，著地后反彈到原來高度的$\frac{4}{5}$處，再自由落下，又彈回到上一次高度的$\frac{4}{5}$處，
∴這個小球在這次運動中所經(jīng)過的總路程為：
S_n=2×10+2×10×$\frac{4}{5}$+2×10×（$\frac{4}{5}$）²+2×10×（$\frac{4}{5}$）³+…+2×10×（$\frac{4}{5}$）ⁿ-10
=2×$\frac{10[1-（\frac{4}{5}）^{n}]}{1-\frac{4}{5}}$-10，
假設(shè)這個小球能無限次反彈，
則這個小球在這次運動中所經(jīng)過的總路程：
S=$\underset{lim}{n→∞}{S}_{n}$=$\underset{lim}{n→∞}${2×$\frac{10[1-（\frac{4}{5}）^{n}]}{1-\frac{4}{5}}$-10}=2×$\frac{10}{1-\frac{4}{5}}$-10=90．
故選：C．

點評 本題考查小球在運動中經(jīng)過路程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)和極限思想的合理運用．