Question

14．已知$|\overrightarrow a|=3，|\overrightarrow b|=4$，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角θ=120°，求
（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$；           
（2）$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$；        
（3）（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）在$\overrightarrow{a}方向上$的射影．

Answer 1

分析 （1）代入數(shù)量積公式計算；
（2）求出（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²，開方即得出答案；
（3）求出$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$的夾角，代入公式計算．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cos120°=3×4×（-$\frac{1}{2}$）=-6．
（2）∵（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²=$\overrightarrow{a}$²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+$\overrightarrow$²=9-12+16=13，
∴$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$=$\sqrt{13}$．
（3））∵（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）²=$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+$\overrightarrow$²=9+12+16=37，
∴|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=$\sqrt{37}$．
（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=9+6=15，
∴cos＜$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$＞=$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{15}{3\sqrt{37}}$=$\frac{5\sqrt{37}}{37}$，
∴（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）在$\overrightarrow{a}方向上$的射影為|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|•cos＜$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$＞=$\sqrt{37}$×$\frac{5\sqrt{37}}{37}$=5．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積和模運算，屬于基礎題．