Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{12}{3+si{n}^{2}θ}$．
（1）點(diǎn)A（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且直線l過點(diǎn)A，求曲線C與直線l的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)B（-2，2）且傾斜角為$\frac{3π}{4}$的直線l₁與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求|BM|•|BN|的值．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）代入直線l的極坐標(biāo)方程ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，可得a=$\sqrt{2}$．展開$ρ×\frac{\sqrt{2}}{2}（cosθ+sinθ）$=$\sqrt{2}$，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{12}{3+si{n}^{2}θ}$，化為3ρ²+（ρsinθ）²=12，代入$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出．聯(lián)立解出即可得出點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（II）直線l₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入曲線C的方程利用|BM|•|BN|=t₁t₂即可得出．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）代入直線l的極坐標(biāo)方程ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，可得$\sqrt{2}cos0$=a，解得a=$\sqrt{2}$．
∴$ρ×\frac{\sqrt{2}}{2}（cosθ+sinθ）$=$\sqrt{2}$，化為直角坐標(biāo)方程x+y-2=0．
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{12}{3+si{n}^{2}θ}$，化為3ρ²+（ρsinθ）²=12，
∴直角坐標(biāo)方程為3x²+4y²=12，化為標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，化為7y²-12y=0，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{7}}\\{y=\frac{12}{7}}\end{array}\right.$．
∴P（2，0），Q$（\frac{2}{7}，\frac{12}{7}）$．
（II）直線l₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入曲線C的方程為：$7{t}^{2}+28\sqrt{2}t+32$=0，
∴t₁t₂=$\frac{32}{7}$．
∴|BM|•|BN|=t₁t₂=$\frac{32}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程的方法、直線與橢圓相交交點(diǎn)問題、直線的參數(shù)方程應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．