Question

15．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，O為原點(diǎn)，A（a，0），B（0，b），點(diǎn)O到直線AB的距離為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)M（0，2）作傾斜角為銳角的直線l交橢圓C于不同的兩點(diǎn)P，Q，
（1）若$\overrightarrow{MP}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{MQ}$，求直線l的方程；
（2）若以PQ為直徑的圓過(guò)左焦點(diǎn)，求直線l．

Answer 1

分析 （Ⅰ）寫(xiě)出直線AB的方程，由點(diǎn)O到直線AB的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，得到關(guān)于a，b的關(guān)系式，結(jié)合橢圓離心率及隱含條件求得a，b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）（1）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），得到$\overrightarrow{MP}$，$\overrightarrow{MQ}$的坐標(biāo)，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式大于0得到k的范圍，再由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合$\overrightarrow{MP}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{MQ}$求得k值，則直線l的方程可求．
（2）由橢圓方程求出橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)，由以PQ為直徑的圓過(guò)左焦點(diǎn)，可得$\overrightarrow{{F}_{1}P}•\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=0．展開(kāi)后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得k值，則直線l的方程可求．

解答 解：（Ⅰ）∵A（a，0），B（0，b），
∴直線AB的方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$，即bx+ay-ab=0，
∵點(diǎn)O到直線AB的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，①
∵離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，②
聯(lián)立①②得：a²=2，b²=1，
∴所求橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）（1）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵M(jìn)（0，2），
∴$\overrightarrow{MP}$=（x₁，y₁-2），$\overrightarrow{MQ}$=（x₂，y₂-2），
設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=kx+2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²+8kx+6=0，
∵直線l交橢圓C于不同的兩點(diǎn)P，Q，
∴△=（8k）²-24（2k²+1）＞0，解得：${k}^{2}＞\frac{3}{2}$．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8k}{2{k}^{2}+1}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{6}{2{k}^{2}+1}$，
∵$\overrightarrow{MP}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{MQ}$，
∴${x}_{1}=\frac{2}{3}{x}_{2}$，
即$\frac{5}{3}{x}_{2}=\frac{-8k}{2{k}^{2}+1}$，$\frac{2}{3}{{x}_{2}}^{2}=\frac{6}{2{k}^{2}+1}$，
消去x₂得：${k}^{2}=\frac{25}{14}$，得$k=±\frac{5\sqrt{14}}{14}$．
∵直線l的傾斜角為銳角，∴k=$\frac{5\sqrt{14}}{14}$．
∴直線l的方程為y=$\frac{5\sqrt{14}}{14}$x+2．
（2）橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$的左焦點(diǎn)F₁（-1，0），
$\overrightarrow{{F}_{1}P}=（{x}_{1}+1，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{{F}_{1}Q}=（{x}_{2}+1，{y}_{2}）$．
由題意可知：$\overrightarrow{{F}_{1}P}•\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=0．
即（1+k²）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0．
∴$（1+{k}^{2}）•\frac{6}{2{k}^{2}+1}+（2k+1）•\frac{-8k}{2{k}^{2}+1}+5=0$．
解得：k=$\frac{11}{8}$．
∴直線l的方程為y=$\frac{11}{8}x+2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，常采用聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解，注意點(diǎn)到直線的距離公式和向量知識(shí)的合理運(yùn)用，是中檔題．