Question

8．正12邊形A₁A₂…A₁₂內接于半徑為1的圓，從$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$、$\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{3}}$、$\overrightarrow{{A}_{3}{A}_{4}}$、…、$\overrightarrow{{A}_{12}{A}_{1}}$這12個向量中任取兩個，記它們的數(shù)量積為S，則S的最大值等于$\sqrt{3}-\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，求出正12變形的邊長，在由題意可得，從$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$、$\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{3}}$、$\overrightarrow{{A}_{3}{A}_{4}}$、…、$\overrightarrow{{A}_{12}{A}_{1}}$這12個向量中任取兩個，使它們的數(shù)量積最大，則兩向量夾角最小，則兩向量為相鄰兩向量，由此可得答案．

解答 解：如圖，

由多邊形內角和定理可知，正12邊形A₁A₂…A₁₂內角和為（12-10）×180°=1800°，
則每一個內角為$\frac{1800°}{12}=150°$，
∠A₁OA₂=30°，
在△A₁OA₂中，又OA₁=OA₂=1，
由余弦定理可得：$|\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}{|}^{2}={1}^{2}+{1}^{2}-2×1×1×cos30°=2-\sqrt{3}$，
由題意可知，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$、$\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{3}}$、$\overrightarrow{{A}_{3}{A}_{4}}$、…、$\overrightarrow{{A}_{12}{A}_{1}}$的模相等，
從$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$、$\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{3}}$、$\overrightarrow{{A}_{3}{A}_{4}}$、…、$\overrightarrow{{A}_{12}{A}_{1}}$這12個向量中任取兩個，使它們的數(shù)量積最大，
則兩向量夾角最小，則兩向量為相鄰兩向量，
不妨取$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$、$\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{3}}$，
則S=$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{3}}=|\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}{|}^{2}cos30°$=$（2-\sqrt{3}）×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}-\frac{3}{2}$．
故答案為：$\sqrt{3}-\frac{3}{2}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了數(shù)量積的求法，畫出圖形且正確理解題意是解答該題的關鍵，是中檔題．