Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x+2}$，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=2ⁿa_na_n+1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求證：S_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x+2}$，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），可得a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，變形為$\frac{1}{{a}_{n+1}}+1=2（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）b_n=2ⁿa_na_n+1=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．利用“裂項求和”可得S_n，即可證明．

解答 （1）解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x+2}$，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
∴a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{2}{{a}_{n}}+1$，變形為$\frac{1}{{a}_{n+1}}+1=2（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}+1\}$是等比數(shù)列，首項為2，公比為2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}+1={2}^{n}$，
化為${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n}-1}$．
（2）證明：b_n=2ⁿa_na_n+1=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=$（1-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＜1，
∴S_n＜1．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了變形能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．