Question

15．各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，a₁=$\frac{1}{2}$，且a_n=$\frac{2{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}+2}$（n≥2，n∈N^*）．
（1）證明數(shù)列{$\frac{1-{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$}為等比數(shù)列；
（2）若b_n=n（3ⁿ+1）a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）證明：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜n+3．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)1與a_n作和、差可知1+a_n=$\frac{3{a}_{n-1}+3}{{a}_{n-1}+2}$、1-a_n=$\frac{1-{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2}$，通過(guò)兩式相除進(jìn)而可知數(shù)列{$\frac{1-{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$}是首項(xiàng)、公比均為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列；
（2）通過(guò)（1）可知$\frac{1-{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$=$\frac{1}{{3}^{n}}$，進(jìn)而可知b_n=n（3ⁿ-1），利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論；
（3）通過(guò)（2）可知a_n=$\frac{{3}^{n}-1}{{3}^{n}+1}$，當(dāng)n≥2時(shí)放縮可知$\frac{1}{{a}_{n}}$＜1+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，相加計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a_n=$\frac{2{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}+2}$（n≥2，n∈N^*），
∴1+a_n=1+$\frac{2{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}+2}$=$\frac{3{a}_{n-1}+3}{{a}_{n-1}+2}$，
1-a_n=1-$\frac{2{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}+2}$=$\frac{1-{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2}$，
兩式相除可知：$\frac{1-{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{1-{a}_{n-1}}{1+{a}_{n-1}}$，
又∵$\frac{1-{a}_{1}}{1+{a}_{1}}$=$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴數(shù)列{$\frac{1-{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$}是首項(xiàng)、公比均為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）可知$\frac{1-{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$=$\frac{1}{{3}^{n}}$，
整理得：a_n=$\frac{{3}^{n}-1}{{3}^{n}+1}$，
∴b_n=n（3ⁿ+1）a_n=n（3ⁿ+1）$\frac{{3}^{n}-1}{{3}^{n}+1}$=n（3ⁿ-1），
記T_n=1•3+2•3²+…+n•3ⁿ，3T_n=1•3²+2•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
錯(cuò)位相減得：-2T_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹
=-$\frac{3}{2}$+$\frac{1-2n}{2}$•3ⁿ⁺¹，
∴T_n=-$\frac{1}{2}$（-$\frac{3}{2}$+$\frac{1-2n}{2}$•3ⁿ⁺¹）=$\frac{3}{4}$+$\frac{2n-1}{4}$•3ⁿ⁺¹，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=T_n-$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{3}{4}$+$\frac{2n-1}{4}$•3ⁿ⁺¹-$\frac{n（n+1）}{2}$；
（3）證明：由（2）可知a_n=$\frac{{3}^{n}-1}{{3}^{n}+1}$，
則當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{3}^{n}+1}{{3}^{n}-1}$=1+$\frac{2}{{3}^{n}-1}$＜1+$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{{3}^{n-1}-1}$＜…＜1+$\frac{2}{{3}^{n-1}}$•$\frac{1}{3-1}$=1+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$≤n+$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$=n+$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n-1}}$＜n+3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．