Question

14．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=3a_n+2（n∈N^*）
（1）求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n與前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=3a_n+2（n∈N^*），變形為a_n+1+1=3（a_n+1），即可證明；
（2）利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵a₁=2，a_n+1=3a_n+2（n∈N^*），
∴a_n+1+1=3（a_n+1），
∴數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，首項為3，公比為3．
（2）解：由（1）可得：a_n+1=3ⁿ，解得a_n=3ⁿ-1．
S_n=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n=$\frac{{3}^{n+1}}{2}$-$\frac{3}{2}$-n．

點評 本題考查了遞推關系、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．