Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)，若，且在上恒成立，求的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，若，且在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）；（3）

【解析】

（1）求導(dǎo)后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定單調(diào)區(qū)間；（2）分別在和兩種情況下，判斷恒成立的條件；當(dāng)時，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合可構(gòu)造不等式求得的范圍；當(dāng)時，利用分離變量法得到恒成立，進(jìn)而通過求解右側(cè)函數(shù)最小值得到的范圍；兩個范圍取交集即為最終結(jié)果；（3）將函數(shù)在上存在零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為在上有解的問題；通過討論的正負(fù)可分離變量變?yōu)?/span>，利用導(dǎo)數(shù)求解不等式右側(cè)函數(shù)的最大值得到結(jié)果.

（1）當(dāng)時，

令得：

函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為

（2）由得：.

當(dāng)時，恒成立

當(dāng)，即時，恒成立；

當(dāng)，即時，

解得：

綜上所述：

當(dāng)時，由恒成立得：恒成立

設(shè)，則.

令得：

當(dāng)時，；當(dāng)時，

綜上所述：的取值范圍為：

（3）

在上存在零點(diǎn) 在上有解

即在上有解

又，即

在上有解

設(shè)，則

令得：

當(dāng)時，；當(dāng)時，

，即 .

設(shè)，則

同理可證：

則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

，故

的取值范圍為：