Question

13．點(diǎn)P（0，4）關(guān)于x-y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)Q在直線l上，且l與直線3x-y+2=0平行
（1）求直線l的方程
（2）求圓心在直線l上，與x軸相切，且被直線x-2y=0截得的弦長(zhǎng)為4的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）求出點(diǎn)（0，4）關(guān)于x-y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)，利用l與直線3x-y+2=0平行，即可求直線l的方程
（2）利用待定系數(shù)法，即可求出圓的方程．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)Q（m，n）為點(diǎn)（0，4）關(guān)于x-y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)．
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-4}{m}=-1}\\{\frac{m}{2}-\frac{n+4}{2}+3=0}\end{array}\right.$（2分）
解得m=1，n=3，即Q（1，3）．（3分）
由l與直線3x-y+2=0平行，得l的斜率為3．（4分）
又Q（1，3）在直線l上，
所以直線l的方程為y-3=3（x-1），即3x-y=0．（5分）
（2）設(shè)圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）．
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{3a-b=0}\\{|b|=r}\\{（\frac{|a-2b|}{\sqrt{5}}）^{2}+{2}^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$（7分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-3}\\{r=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\\{r=3}\end{array}\right.$．（9分）
∴圓的方程為（x+1）²+（y+3）²=9或（x-1）²+（y-3）²=9．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，求出圓心坐標(biāo)和半徑的值，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．