Question

18．已知x、y為正數(shù)，且$\frac{3}{1+x}$+$\frac{3}{1+y}$=1，則xy的最小值為25．

Answer 1

分析 先解出y得y=$\frac{2x+5}{x-2}$（x＞2），再裂項(xiàng)xy=2•[（x-2）+$\frac{9}{x-2}$]+13，最后用基本不等式求最值．

解答 解：由$\frac{3}{1+x}$+$\frac{3}{1+y}$=1解得y=$\frac{2x+5}{x-2}$（x＞2），
所以，xy=x•$\frac{2x+5}{x-2}$
=$\frac{2x^2+5x}{x-2}$=$\frac{2（x-2）^2+13（x-2）+18}{x-2}$
=2•[（x-2）+$\frac{9}{x-2}$]+13
≥2$\sqrt{（x-2）•\frac{9}{x-2}}$+13=25，
當(dāng)且僅當(dāng)：x=5時(shí)，取“=”，此時(shí)，y=5，
即xy的最小值為：25，
故答案為：25．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了基本不等式在求最值問題中的應(yīng)用，通過消元，配方，裂項(xiàng)，基本基本不等式求最值，屬于中檔題．