Question

13．已知點G是△ABC的重心，A（0，-2），B（0，2），在x軸上有一點M滿足；|$\overrightarrow{MA}$|=|$\overrightarrow{MC}$|，$\overrightarrow{GM}$=λ$\overrightarrow{AB}$（λ∈R）．
（I）求點C的軌跡方程．
（Ⅱ）直線l與C的軌跡交于P，Q兩，弦PQ的中點坐標為（-$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$），求弦長|PQ|．

Answer 1

分析 （I）先設出C的坐標，則G點坐標可得，進而根據$\overrightarrow{GM}$=λ$\overrightarrow{AB}$判斷出GM∥AB，根據表示出M的坐標，利用|$\overrightarrow{MA}$|=|$\overrightarrow{MC}$|，進而利用兩點間的距離公式求得x和y的關系，點C的軌跡方程可得．
（Ⅱ）利用點差法，求出PQ的斜率，可得PQ的方程，與橢圓方程聯立，可得弦長|PQ|．

解答 解：（I）設C（x，y），則G（$\frac{x}{3}$，$\frac{y}{3}$）．
∵$\overrightarrow{GM}$=λ$\overrightarrow{AB}$（λ∈R），∴GM∥AB．又M是x軸上一點，則M（$\frac{x}{3}$，0）．
又∵|$\overrightarrow{MA}$|=|$\overrightarrow{MC}$|，
∴$\sqrt{（\frac{x}{3}）^{2}+1}$=$\sqrt{（\frac{x}{3}-x）^{2}+{y}^{2}}$．
整理得$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1（x≠0）．
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$，y₁+y₂=$\frac{1}{2}$，
P，Q代入$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，作差整理可得$\frac{1}{3}$（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，
∴PQ的方程為y-$\frac{1}{4}$=x+$\frac{3}{4}$，即y=x+1，
代入$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，整理可得2x²+3x=0，∴|PQ|=$\sqrt{2}•\frac{3}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

點評 本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，正確運用向量知識是關鍵．