Question

5．長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=3，AD=4，AB=5，則直線BD₁與平面ABCD所成的角的正弦值是（　�。�

• A． $\frac{4}{5}$
• B． $\frac{{3\sqrt{2}}}{10}$
• C． $\frac{3}{{\sqrt{34}}}$
• D． $\frac{5}{{\sqrt{34}}}$

Answer 1

分析 連結BD₁、BD，由D₁D⊥平面ABCD，得直線BD₁與平面ABCD所成的角為∠D₁BD，由此能求出直線BD₁與平面ABCD所成的角的正弦值．

解答 解：連結BD₁、BD，
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥平面ABCD，
∴直線BD₁與平面ABCD所成的角為∠D₁BD，
∵AA₁=3，AD=4，AB=5，
∴BD=$\sqrt{25+16}$=$\sqrt{41}$，BD₁=$\sqrt{41+9}$=5$\sqrt{2}$，
∴sin∠D₁BD=$\frac{D{D}_{1}}{B{D}_{1}}$=$\frac{3}{5\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{10}$．
∴直線BD₁與平面ABCD所成的角的正弦值是$\frac{3\sqrt{2}}{10}$．
故選：B．

點評 本題考查直角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．