Question

18．已知f（x）=e^x，g（x）=mx+n，若對任意實數(shù)x，都有f（x）≥g（x），則mn的最大值為$\frac{e}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得f（x）-g（x）≥0恒成立，即為e^x-mx-n≥0，令h（x）=e^x-mx-n，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分別討論m=0，m＜0，m＞0的情況，從而得出mn的最大值．

解答 解：由題意可得f（x）-g（x）≥0恒成立，即為e^x-mx-n≥0，
令h（x）=e^x-mx-n，h′（x）=e^x-m，
若m=0，則h（x）=e^x-n的最小值為h（x）＞-n≥0，
得n≤0，此時mn=0；
若m＜0，則h′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)增，x→-∞，此時h（x）→-∞，不可能恒有h（x）≥0．
若m＞0，則得極小值點x=lnm，由h（lnm）=m-mlnm-n≥0，得n≤m（1-lnm），
mn≤m²（1-lnm）=k（m）．
現(xiàn)求k（m）的最小值：由k′（m）=2m（1-lnm）-m=m（1-2lnm）=0，
得極小值點m=${e}^{\frac{1}{2}}$，
k（${e}^{\frac{1}{2}}$）=$\frac{e}{2}$，
所以mn的最大值為$\frac{e}{2}$，
故答案為：$\frac{e}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．