Question

2．小明一家三口都會(huì)下棋，在假期里的每一天中，父母都交替與小明下棋，已知小明勝父親的概率是$\frac{1}{2}$，勝母親的概率是$\frac{2}{3}$，且各盤棋之間是相互獨(dú)立的．
（1）如果共下7盤棋，并且小明與父親先下，求小明恰勝一盤的概率；
（2）如果共下3盤棋，小明與父親先下，且規(guī)定每勝一盤得1分，每負(fù)一盤減1分，求小明最終得分ξ的分布列；
（3）某天父母與小明約定下三盤棋，只要他在三盤中能至少連勝兩盤，就給他買新的鋼筆，那么小明為了獲勝希望更大，他應(yīng)該先與父親下，還是先與母親下？請(qǐng)用計(jì)算說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）如果共下7盤棋，并且小明與父親先下，則與父親下4盤，與母親下3盤，即可小明恰勝一盤的概率；
（2）如果共下3盤棋，小明與父親先下，且規(guī)定每勝一盤得1分，每負(fù)一盤減1分，
ξ的取值為3，1，-1，-3，求出相應(yīng)的概率，即可求小明最終得分ξ的分布列；
（3）先與父親下，概率為$\frac{1}{2}$；先與母親下，概率為$\frac{4}{9}$．

解答 解：（1）如果共下7盤棋，并且小明與父親先下，則與父親下4盤，與母親下3盤
小明恰勝一盤的概率為${C}_{4}^{3}•（\frac{1}{2}）^{3}•（\frac{1}{2}）•（\frac{1}{3}）^{3}$+$（\frac{1}{2}）^{4}•{C}_{3}^{1}•\frac{2}{3}•（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{5}{216}$；
（2）如果共下3盤棋，小明與父親先下，且規(guī)定每勝一盤得1分，每負(fù)一盤減1分，
ξ的取值為3，1，-1，-3，P（ξ=3）=$\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{2}{3}$=$\frac{1}{6}$，P（ξ=1）=$\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{1}{3}+\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{2}{3}$•2=$\frac{5}{12}$
P（ξ=-1）=$\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{2}{3}$+2$•\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$，P（ξ=-3）=$\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{1}{3}$=$\frac{1}{12}$
∴小明最終得分ξ的分布列

ξ	3	1	-1	-3
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{12}$

；
（3）應(yīng)該先與父親下，概率為$\frac{1}{2}$；先與母親下，概率為$\frac{4}{9}$．
∴應(yīng)該先與父親下．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的計(jì)算，考查ξ的分布列，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于中檔題