Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x+1|，x≤0}\\{|lo{g}_{2}x|，x＞0}\end{array}\right.$，若方程f（x）=a有四個(gè)不同的解x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，則${x_3}-\frac{1}{{（{x_1}+{x_2}）x_3^2{x_4}}}$的取值范圍是[$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x+1|，x≤0}\\{|lo{g}_{2}x|，x＞0}\end{array}\right.$的圖象如下，由圖象可得x₁+x₂=-2，x₃x₄=1；1＜x₄≤2；從而化簡${x_3}-\frac{1}{{（{x_1}+{x_2}）x_3^2{x_4}}}$=x₃+$\frac{1}{2{x}_{3}}$=$\frac{1}{{x}_{4}}$+$\frac{1}{2}$x₄，1＜x₄≤2，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到取值范圍．

解答 解：作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x+1|，x≤0}\\{|lo{g}_{2}x|，x＞0}\end{array}\right.$的圖象如右，
由圖可知，x₁+x₂=-2，x₃x₄=1；1＜x₄≤2；
故${x_3}-\frac{1}{{（{x_1}+{x_2}）x_3^2{x_4}}}$=x₃+$\frac{1}{2{x}_{3}}$=$\frac{1}{{x}_{4}}$+$\frac{1}{2}$x₄，1＜x₄≤2；
由y=$\frac{1}{{x}_{4}}$+$\frac{1}{2}$x₄在（1，$\sqrt{2}$]遞減，（$\sqrt{2}$，2]遞增．
故x₄=$\sqrt{2}$取得最小值，且為2$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，
當(dāng)x₄=1時(shí)，函數(shù)值為$\frac{3}{2}$，當(dāng)x₄=2時(shí)，函數(shù)值為$\frac{3}{2}$．
即有取值范圍是[$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$]．
故答案為：[$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵．