Question

12．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=e^2x+x²-ax，函數(shù)g（x）=f（$\frac{x}{2}$）-$\frac{1}{4}$x²+（1-b）x+b（其中a，b為常數(shù)），若函數(shù)f（x）在x=0處的切線與y軸垂直．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若s，t，r滿足|s-r|＜|t-r|恒成立，則稱s比t更靠近，在函數(shù)g（x）有極值的前提下，當x≥1時，$\frac{e}{x}$比e^x-1+b更靠近，試求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）根據(jù)更靠近的定義，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用最值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^2x+x²-ax，∴f′（x）=2e^2x+2x-a，
∵函數(shù)f（x）在x=0處的切線與y軸垂直．
∴f′（0）=2-a=0，得a=2，
∴f（x）=e^2x+x²-2x；
（Ⅱ）g（x）=f（$\frac{x}{2}$）-$\frac{1}{4}$x²+（1-b）x+b=e^x-b（x-1），
則g′（x）=e^x-b，
①若b≤0，g′（x）＞0，則g（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，
②若b＞0，由g′（x）＞0得x＞lnb，由g′（x）＜0得x＜lnb，
即g（x）在（-∞，lnb）上為減函數(shù)，則（lnb，+∞）上為增函數(shù)；
（Ⅲ）∵函數(shù)g（x）有極值，∴b＞0，
由題意知|$\frac{e}{x}$-lnx|＜|e^x-1+b-lnx|，（※），
設(shè)p（x）=$\frac{e}{x}$-lnx，x≥1，q（x）=e^x-1+b-lnx，（x≥1），
∵p（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)，p（e）=0，
∴當1≤x≤e時，p（x）=$\frac{e}{x}$-lnx≥0，
當x＞e時，p（x）=$\frac{e}{x}$-lnx＜0，
∵q′（x）=e^x-1-$\frac{1}{x}$，∴q′（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴q′（x）≥q′（1）=0，即q（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
則q（x）≥q（1）=b+1＞0，則q（x）=e^x-1+b-lnx＞0，
①當1≤x≤e時，$\frac{e}{x}$-lnx＜e^x-1+b-lnx，即b＞$\frac{e}{x}$-e^x-1，
設(shè)m（x）=$\frac{e}{x}$-e^x-1，
∵m（x）=$\frac{e}{x}$-e^x-1，在[1，e]上為減函數(shù)，
∴b＞m（1），即b＞e-1，
②當x＞e時，（※）即lnx-$\frac{e}{x}$＜e^x-1+b-lnx，即b＞-$\frac{e}{x}$+2lnx-e^x-1，
設(shè)n（x）=-$\frac{e}{x}$+2lnx-e^x-1，x＞e，
則n′（x）=$\frac{e}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{x}$-e^x-1，x＞e，
則n′（x）在（e，+∞）上為減函數(shù)，
∴n′（x）＜n′（e），
∵n′（e）=$\frac{3}{e}$-e^e-1＜0，
∴n（x）在（e，+∞）上為減函數(shù)，
n（x）＜n（e）=1-e^e-1，
則b≥1-e^e-1，
綜上b＞e-1．

點評 本題主要考查不等式恒成立，利用函數(shù)單調(diào)性最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，運算量較大，難度比較大．