Question

2．設數(shù)列{a_n}各項為正數(shù)，且a₂=4a₁，a_n+1=${a}_{n}^{2}$+2a_n（n∈N^*）
（I）證明：數(shù)列{log₃（1+a_n）}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）令b_n=log₃（1+a_2n-1），數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求使T_n＞345成立時n的最小值．

Answer 1

分析 （I）由a₂=4a₁，a_n+1=${a}_{n}^{2}$+2a_n（n∈N^*），可得a₂=4a₁，a₂=${a}_{1}^{2}+2{a}_{1}$，解得a₁，a₂．由于a_n+1+1=${a}_{n}^{2}$+2a_n+1=$（{a}_{n}+1）^{2}$，兩邊取對數(shù)可得：log₃（1+a_n+1）=2log₃（1+a_n），即可證明．
（II）由（I）可得：log₃（1+a_n）=2^n-1，可得b_n=log₃（1+a_2n-1）=2^2n-2=4^n-1，可得數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，代入化簡即可得出．

解答 （I）證明：∵a₂=4a₁，a_n+1=${a}_{n}^{2}$+2a_n（n∈N^*），
∴a₂=4a₁，a₂=${a}_{1}^{2}+2{a}_{1}$，解得a₁=2，a₂=8．
∴a_n+1+1=${a}_{n}^{2}$+2a_n+1=$（{a}_{n}+1）^{2}$，
兩邊取對數(shù)可得：log₃（1+a_n+1）=2log₃（1+a_n），
∴數(shù)列{log₃（1+a_n）}為等比數(shù)列，首項為1，公比為2．
（II）解：由（I）可得：log₃（1+a_n）=2^n-1，
∴b_n=log₃（1+a_2n-1）=2^2n-2=4^n-1，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n=$\frac{{4}^{n}-1}{4-1}$=$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$．
不等式T_n＞345，
化為$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$＞345，即4ⁿ＞1036．
解得n＞5．
∴使T_n＞345成立時n的最小值為6．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、對數(shù)的運算性質、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．