Question

19．在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC是直角三角形，AC⊥CB，PA=2，CA=2$\sqrt{3}$，CB=2，E為BC的中點，CF⊥AB于點F，CF交AE于點M．
（1）求二面角P-CF-B的余弦值；
（2）求點M到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）∠PFB是二面角P-CF-B的平面角，求出PF，BF，PB，利用余弦定理求二面角P-CF-B的余弦值；
（2）利用等體積求點M到平面PBC的距離．

解答 解：（1）∵CF⊥AB于點F，PA⊥平面ABC，
∴∠PFB是二面角P-CF-B的平面角．
∵AC⊥CB，PA=2，CA=2$\sqrt{3}$，CB=2，
∴AB=4
由射影定理可得12=AF•4，∴AF=3，
∴BF=1，
又PF=$\sqrt{4+9}$=$\sqrt{13}$，PB=$\sqrt{4+16}$=$\sqrt{20}$，
∴二面角P-CF-B的余弦值=$\frac{13+1-20}{2×\sqrt{13}×1}$=-$\frac{3\sqrt{13}}{13}$；
（2）取FB中點O，連接EO，由（1）可知，CF=$\sqrt{3}$，則EO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，MF=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$，∴S_△MBC=$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{7}×1$=$\frac{2\sqrt{3}}{7}$
∵PA⊥平面ABC，AC⊥CB，
∴PC⊥CB，
∵PC=4，BC=2，∴S_△PBC=$\frac{1}{2}×4×2$=4，
設(shè)點M到平面PBC的距離為h，則$\frac{1}{3}×4×h$=$\frac{1}{3}×\frac{2\sqrt{3}}{7}×2$，
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{7}$．

點評 本題考查二面角P-CF-B的余弦值，點M到平面PBC的距離的求解，考查余弦定理，等體積的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．