Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$-k（$\frac{2}{x}$+lnx），若x=2是函數(shù)f（x）的唯一一個極值點，則實數(shù)k的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，e]
• B． [0，e]
• C． （-∞，e）
• D． [0，e）

Answer 1

分析 由f（x）的導函數(shù)形式可以看出，需要對k進行分類討論來確定導函數(shù)為0時的根．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$-k（$\frac{2}{x}$+lnx），
∴函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞）
∴f′（x）=$\frac{{e}^{x}{x}^{2}-2x{e}^{x}}{{x}^{4}}$-k（-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$）=$\frac{（{e}^{x}-kx）（x-2）}{{x}^{3}}$
∵x=2是函數(shù)f（x）的唯一一個極值點
∴x=2是導函數(shù)f′（x）=0的唯一根．
∴e^x-kx=0在（0，+∞）無變號零點，
令g（x）=e^x-kx
g′（x）=e^x-k
①k≤0時，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）時單調(diào)遞增的
g（x）的最小值為g（0）=1，g（x）=0無解
②k＞0時，g′（x）=0有解為：x=lnk
0＜x＜lnk時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減
lnk＜x時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增
∴g（x）的最小值為g（lnk）=k-klnk
∴k-klnk＞0
∴k＜e，
由y=e^x和y=ex圖象，它們切于（1，e），
綜上所述，k≤e．
故選C

點評 本題考查由函數(shù)的導函數(shù)確定極值問題．對參數(shù)需要進行討論．