Question

7．已知θ∈（0，$\frac{π}{2}$），sinθ-cosθ=$\frac{1}{5}$，求tanθ及tan（θ-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 利用同角的三角函數(shù)的關(guān)系式求cosθ=$\frac{3}{5}$，sinθ=$\frac{4}{5}$，結(jié)合兩角和差的正切公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），sinθ-cosθ=$\frac{1}{5}$，
∴sinθ=$\frac{1}{5}$+cosθ，
平方得sin²θ=$\frac{1}{25}$+$\frac{2}{5}$cosθ+cos²θ=1-cos²θ，
即cos²θ+$\frac{1}{5}$cosθ-$\frac{12}{25}$=0，
即（cosθ-$\frac{3}{5}$）（cosθ+$\frac{4}{5}$）=0，
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴cosθ＞0，
則cosθ=$\frac{3}{5}$，sinθ=$\frac{4}{5}$，
則tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{4}{3}$，
tan（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanθ-tan\frac{π}{4}}{1+tanθtan\frac{π}{4}}$=$\frac{\frac{4}{3}-1}{1+\frac{4}{3}}$=$\frac{4-3}{3+4}=\frac{1}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)值的計(jì)算，利用同角的三角函數(shù)的關(guān)系式求出正弦值和余弦值是解決本題的關(guān)鍵．