設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右兩個焦點．

(1)若橢圓C上的點A(1，)到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標．

(2)設(shè)點K是(1)中所得橢圓上的動點，求線段F₁K的中點的軌跡方程．

(3)已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關(guān)的定值，試寫出雙曲線＝1具有類似特性的性質(zhì)并加以證明．

設(shè)f(x)(x∈[a，b])滿足≤f()(其中x₁、x₂為[a，b]上任意兩點)，你能將此不等式推廣嗎？

若a₁、a₂∈R⁺，則有不等式≥()²成立，此不等式能推廣嗎？請你至少寫出兩個不同類型的推廣．

三角形的面積為S＝(a＋b＋c)r，a、b、c為三角形的邊長，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類比推理，求出四面體的體積公式．

已知等差數(shù)列{a_n}，公差為d，前n項和為S_n，有如下性質(zhì)：

(1)通項a_n＝a_m＋(n－m)d．

(2)若m＋n＝p＋q，其中m、n、p、q∈N₊，則a_m＋a_n＝a_p＋a_q．

(3)若m＋n＝2p，m、n、p∈N₊，則a_m＋a_n＝2a_p．

(4)S_n，S_2n－S_n，S_3n－S_2n構(gòu)成等差數(shù)列．

類比得出等比數(shù)列的性質(zhì)．

設(shè){a_n}是集合{2^t＋2^s|0≤s＜t且s，t∈Z}中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，即a₁＝3，a₂＝5，a₃＝6，a₄＝9，a₅＝10，a₆＝12，…，將數(shù)列{a_n}各項按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形數(shù)表．

(1)寫出這個三角形數(shù)表的第四行與第五行各數(shù)；

(2)求a₁₀₀．

已知a、b為正整數(shù)，設(shè)兩直線l₁：y＝bx與l₂：y＝x的交點為P₁(x₁，y₁)，且對于n≥2的自然數(shù)，兩點(0，b)，(x_n－1，0)的連線與直線y＝x交于點P_n(x_n，y_n)．

(1)求P₁、P₂的坐標．

(2)猜想P_n的坐標公式．

設(shè)f(n)＞0(n∈N₊)且f(2)＝4，對任意n₁，n₂∈N₊，有f(n₁＋n₂)＝f(n₁)·f(n₂)恒成立，猜想f(n)的一個表達式．

當n＝1，2，3，4時，試判斷2ⁿ與2n－1的大小，并由此推測當n∈N時，2ⁿ與2n－1的大小．

觀察圓周上n個點之間所連的弦，發(fā)現(xiàn)2個點可以連1條弦，3個點可以連3條弦，4個點可以連6條弦，5個點可以連成10條弦，由此歸納出什么規(guī)律？