已知函數(shù)f（x）=cos²x-sin²x+2

3

sinxcosx．
（1）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求f（x）的值域；
（2）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，sin（A+B）=2sin（B+C），

b

a

=

3

，求A以及f（B）的值．

若f（x）=asin（x+

π

4

）-

6

cos（x+

π

3

），當(dāng)a為何值時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)？何時(shí)是奇函數(shù)？

觀察等式：
sin50°+sin20°=2sin35°cos15°
sin66°+sin32°=2sin49°cos17°
猜想符合以上兩式規(guī)律的一般結(jié)論，并進(jìn)行證明．

已知函數(shù)f（x）=Asin（wx+φ）+b，（w＞0），|φ|＜

π

2

的圖象的一部分如圖所示．
（1）求f（x）的解析式．
（2）試寫出f（x）的對(duì)稱軸方程．

氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，距離S島正東方向300km的A處有一臺(tái)風(fēng)形成，并以每小時(shí)30km的速度向北偏西30°的方向移動(dòng)，在距臺(tái)風(fēng)中心處不超過270km以內(nèi)的地區(qū)將受到臺(tái)風(fēng)的影響．問：
（1）從臺(tái)風(fēng)形成起經(jīng)過3小時(shí)，S島是否受到影響（精確到0.1km）？
（2）從臺(tái)風(fēng)形成起經(jīng)過多少小時(shí)，S島開始受到臺(tái)風(fēng)的影響？持續(xù)時(shí)間多久？（精確到0.1小時(shí)）

定義：如果數(shù)列{a_n}的任意連續(xù)三項(xiàng)均能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱{a_n}為“三角形”數(shù)列．對(duì)于“三角形”數(shù)列{a_n}，如果函數(shù)y=f（x）使得b_n=f（a_n）仍為一個(gè)“三角形”數(shù)列，則稱y=f（x）是數(shù)列{a_n}的“保三角形函數(shù)”，（n∈N^*）．
（Ⅰ）已知數(shù)列{c_n}的首項(xiàng)為2010，S_n是數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，且滿足4S_n+1-3S_n=8040，證明{c_n}是“三角形”數(shù)列；
（Ⅱ）已知{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，若f（x）=k^x，（k＞1）是數(shù)列{a_n}的“保三角形函數(shù)”，求k的取值范圍．

已知f（x）=ln（x+1），g(x)=

1

2

ax2+bx
（1）若a=0，b=1時(shí)，求證：f（x）-g（x）≤0對(duì)于x∈（-1，+∞）恒成立；
（2）若b=2，且h（x）=f（x-1）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（3）利用（1）的結(jié)論證明：若0＜x＜y，則xlnx+ylny＞(x+y)ln

x+y

2

．

如圖，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，離心率e=

1

2

．過F₁的直線l交橢圓與A、B兩點(diǎn)，且△ABF₂的周長(zhǎng)為8．
（1）求橢圓E的方程；
（2）當(dāng)△ABF₂的面積為3時(shí)，求直線l的方程．

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，過橢圓右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB與CD．當(dāng)直線AB斜率為0時(shí)，AB+CD=7．
（1）求橢圓的方程；
（2）求AB+CD的取值范圍．

已知函數(shù)f（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若0＜α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，且f（

α

2

）=

1

3

，f（

β

2

）=

2

3

，求sin（α-β）的值．