已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（1，e）和（e，

3

2

），其中e為橢圓的離心率．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）為橢圓C上一點，取點A(0，

2

)，E(x0，0)，連接AE，過點A作AE的垂線交x軸于點D．點G是點D關(guān)于原點的對稱點，證明：直線QG與橢圓C只有一個公共點．

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（0，1），其長軸、焦距和短軸的長的平方依次成等差數(shù)列．直線l與x軸正半軸和y軸分別交于點Q、P，與橢圓分別交于點M、N，各點均不重合且滿足

PM

=λ1

MQ

，

PN

=λ2

NQ

．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若λ₁+λ₂=-3，試證明：直線l過定點并求此定點．

已知橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，過橢圓G右焦點F的直線m：x=1與橢圓G交于點M（點M在第一象限）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）已知A為橢圓G的左頂點，平行于AM的直線l與橢圓相交于B，C兩點．判斷直線MB，MC是否關(guān)于直線m對稱，并說明理由．

“開門大吉”是某電視臺推出的游戲益智節(jié)目．選手面對1-4號4扇大門，依次按響門上的門鈴，門鈴會播放一段音樂（將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹），選手需正確回答出這首歌的名字，方可獲得該扇門對應(yīng)的家庭夢想基金．在一次場外調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)參加比賽的選手多數(shù)分為兩個年齡段：20～30；30～40（單位：歲），其猜對歌曲名稱與否人數(shù)如圖所示． 
（Ⅰ）寫出2×2列聯(lián)表；判斷是否有90%的把握認(rèn)為猜對歌曲名稱與否與年齡有關(guān)？說明你的理由．（下面的臨界值表供參考）

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（Ⅱ）現(xiàn)計劃在這次場外調(diào)查中按年齡段選取6名選手，并抽取3名幸運獎項，求至少有一人年齡在20～30歲之間的概率．（參考公式K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

其中n=a+b+c+d）

如圖，P是等邊△ABC外接圓

BC

上任一點，求證：PA²=AC²+PB•PC．

某單位招聘職工，經(jīng)過幾輪篩選，一輪從2000名報名者中篩選300名進(jìn)入二輪筆試，接著按筆試成績擇優(yōu)取100名進(jìn)入第三輪面試，最后從面試對象中綜合考察聘用50名．
（Ⅰ）求參加筆試的競聘者能被聘用的概率；
（Ⅱ）用分層抽樣的方式從最終聘用者中抽取10名進(jìn)行進(jìn)行調(diào)查問卷，其中有3名女職工，求被聘用的女職工的人數(shù)；
（Ⅲ）單位從聘用的三男和二女中，選派兩人參加某項培訓(xùn)，至少選派一名女同志參加的概率是多少？

如圖，已知P是矩形ABCD內(nèi)任意一點，延長BP交AD于E，延長DP交AB于F，延長CP交矩形的外接圓于G．求證：GE⊥GF．

如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率e=

5

5

，過F₁的直線交橢圓于M、N兩點，且△MNF₂的周長為4

5

（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)AB是過橢圓E中心的任意弦，P是線段AB的垂直平分線與橢圓E的一個交點，求△APB面積的最小值．

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，右焦點為(

3

，0)．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過橢圓右焦點且斜率為k的直線與橢圓交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若

x1x2

a2

+

y1y2

b2

=0，求斜率k的值．

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0），且f（x+1）為偶函數(shù)，定義：滿足f（x）=x的實數(shù)x稱為函數(shù)f（x）的“不動點”，若函數(shù)f（x）有且僅有一個不動點．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+kx²在（0，4）上是增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）是否存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使得f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域為[3m，3n]？若存在，請求出m，n的值；若不存在，請說明理由．