12．設(shè)點(diǎn)A₁（-$\sqrt{2}$，0）和點(diǎn)A₂（$\sqrt{2}$，0），直線A₁M、A₂M相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是-$\frac{1}{2}$．設(shè)M的軌跡為C，過(guò)點(diǎn)F（1，0）作直線l交C于P、Q兩點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）求|PQ|的最小值；
（3）是否存在點(diǎn)N，使得以線段PQ為直徑的圓過(guò)該定點(diǎn)，若存在，求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

11．設(shè)圓C：（x-3）²+（y-2）²=1（a＞0）與直線y=$\frac{3}{4}$x相交于P、Q兩點(diǎn)，則|PQ|=$\frac{4\sqrt{6}}{5}$．

10．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=2+sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為：sinθ-2cosθ=0，直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|OA|＜|OB|．
（1）求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）求$\frac{{|{OA}|}}{{|{AB}|}}$的值．

9．已知圓C：x²+y²-（6-2m）x-4my+5m²-6m=0，則圓心C的軌跡方程為2x+y-6=0，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，1），若對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)都是定值，則直線l的一般式方程為2x+y+1=0．

8．已知直線$\sqrt{3}$x-y+2=0及直線$\sqrt{3}$x-y-10=0截圓C所得的弦長(zhǎng)均為8，則圓C的面積是（　�。�

A．

25π

B．

36π

C．

49π

D．

32π

7．已知圓C與y軸相切，圓心在直線x-2y=0上，且被x軸的正半軸截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)（x，y）在圓C上，求x+2y的最大值．

6．若數(shù)對(duì)（a，b）（a＞1，b＞1，a，b∈N^*），對(duì)于?m∈Z，?x，y∈Z，使m=xa+yb成立，則稱數(shù)對(duì)（a，b）為全體整數(shù)的一個(gè)基底，（x，y）稱為m以（a，b）為基底的坐標(biāo)；
（Ⅰ）給出以下六組數(shù)對(duì)（2，3），（2，5），（2，6），（3，5），（3，12），（9，17），寫出可以作為全體整數(shù)基底的數(shù)對(duì)；
（Ⅱ）若（a，b）是全體整數(shù)的一個(gè)基底，對(duì)于?m∈Z，m以（a，b）為基底的坐標(biāo)（x，y）有多少個(gè)？并說(shuō)明理由；
（Ⅲ）若（2，m）是全體整數(shù)的一個(gè)基底，試寫出m的所有值，并說(shuō)明理由．

5．（普通中學(xué)做）已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（0，2），離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）試問(wèn)是否存在直線l：y=kx-$\frac{4}{3}$與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M，N，且|PM|=|PN|？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由．

4．（重點(diǎn)中學(xué)做）如圖所示，設(shè)A，B分別是橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O作直線交線段AB于點(diǎn)M（異于點(diǎn)A，B），交橢圓于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在第一象限內(nèi)），△ABC與△ABD的面積分別為S₁與S₂．
（1）若M是線段AB的中點(diǎn)，直線OM的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，點(diǎn)P（3，1）在橢圓E上，求橢圓E的方程；
（2）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最大值．

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），左焦點(diǎn)為F₁（-$\sqrt{3}$，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)（m，0）作圓x²+y²=1的切線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值．