3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，四個(gè)頂點(diǎn)所圍成的菱形的面積為8$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線y=kx+m與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（x₁，y₁）和點(diǎn)B（x₂，y₂），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且k_OA•k_OB=-$\frac{1}{2}$，求y₁y₂的取值范圍．

2．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，短軸長為2，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，設(shè)直線l₁；y=x+m₁與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，直線l₂：y=x+m²與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，若四邊形ABCD是平行四邊形，求四邊形ABCD的面積的最大值．

1．設(shè)P為任意一點(diǎn)，給定直線a和平面α，給出以下四個(gè)命題：
①過點(diǎn)P有且只有一條直線和直線a垂直；
②過點(diǎn)P有且只有一條直線和直線a平行；
③過點(diǎn)P有且只有一條直線和平面α垂直；
④過點(diǎn)P有且只有一個(gè)平面和直線α垂直．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．

0

B．

1

C．

2

D．

3

20．已知菱形ABCD的邊長為3，∠B=60°，沿對角線AC折成一個(gè)四面體，使得平面ACD⊥平面ABC，則經(jīng)過這個(gè)四面體所有頂點(diǎn)的球的表面積為（　�。�

A．

15π

B．

$\frac{15π}{4}$

C．

$\sqrt{15}$ π

D．

6π

19．已知?jiǎng)又本�l：y=kx+k恒過橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)A，頂點(diǎn)B與A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱，該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F滿足∠FAB=30°．
（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）如果點(diǎn)C滿足3$\overrightarrow{OB}$+2$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，當(dāng)k=$\frac{2}{3}$時(shí)，記直線l與橢圓E的另一個(gè)公共點(diǎn)為P，求∠BPC平分線所在直線的方程．

18．如圖，直線l：y=-x+1與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若橢圓的焦距為2，離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求△OAB的面積；
（Ⅱ）若以A、B為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，且橢圓的長軸2a∈[$2\sqrt{2}$，$2\sqrt{3}$]時(shí)，求橢圓離心率取值范圍．

17．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂與橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長為4的正三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過橢圓C上任意一點(diǎn)P做橢圓C的切線與直線F₁P的垂線F₁M相交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅲ）若切線MP與直線x=-2交于點(diǎn)N，求證：$\frac{{|N{F_1}|}}{{|M{F_1}|}}$為定值．

16．已知直線l：x=my+1過橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右焦點(diǎn)F，拋物線：x²=4$\sqrt{3}$y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，且直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、F、B在直線g：x=4上的射影依次為點(diǎn)D、K、E．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l交y軸于點(diǎn)M，且$\overrightarrow{MA}$=λ₁$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}$=λ₂$\overrightarrow{BF}$，當(dāng)m變化時(shí)，探求λ₁+λ₂的值是否為定值？若是，求出λ₁+λ₂的值，否則，說明理由；
（Ⅲ）連接AE、BD，試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線AE與BD是否相交于定點(diǎn)？若是，請求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說明理由．

15．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C與曲線|y|=x的交點(diǎn)分別為A，B（A在第四象限），且$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AB}=\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）定義：以原點(diǎn)O為圓心，$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$為半徑的圓稱為橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的“伴隨圓”．若直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，交其“伴隨圓”于P，Q兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓過原點(diǎn)O．
證明：|PQ|為定值．

14．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，已知|AB|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|F₁F₂|．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F₁且斜率為-1的直線與橢圓交于第二象限的P點(diǎn)，過P、B、F₁三點(diǎn)的圓為⊙M．是否存在過原點(diǎn)的定直線l與⊙M相切？并請說明理由．