13．已知函數(shù)f（x）=xe^x+ax²-x，（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)，且e=2.718…）．
（Ⅰ）若a=-$\frac{1}{2}$，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若對于x≥0時，恒有f′（x）-f（x）≥（4a+1）x成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當n∈N^*時，證明：$\frac{e-{e}^{n+1}}{1-e}≥\frac{n（n+3）}{2}$．

12．已知函數(shù)f（x）=ax³+2x-a，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若a=n且n∈N^*，設x_n是函數(shù)f_n（x）=nx³+2x-n的零點．
（i）證明：n≥2時存在唯一x_n且${x}_{n}∈（\frac{n}{n+1}，1）$；
（i i）若b_n=（1-x_n）（1-x_n+1），記S_n=b₁+b₂+…+b_n，證明：S_n＜1．

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點$B（0，\sqrt{3}）$為短軸的一個端點，∠OF₂B=60°．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）如圖，過右焦點F₂，且斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C相交于D，E兩點，A為橢圓的右頂點，直線AE，AD分別交直線x=3于點M，N，線段MN的中點為P，記直線PF₂的斜率為k′．試問k•k′是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由．

10．記數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=$\int_0^n$（2ax+b）dx（a，b常數(shù)）．若不等式a_n²+$\frac{{S_{n}^2}}{{n{^2}}}$≥ma₁²對任意的數(shù)列{a_n}及任意正整數(shù)n都成立，則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�

A．

$（-∞，\frac{1}{2}]$

B．

$[{\frac{1}{5}，\frac{1}{2}}]$

C．

$[{\frac{1}{5}，+∞}）$

D．

$（-∞，\frac{1}{5}]$

9．在平面直角坐標系中，已知橢圓C：$\frac{x^2}{24}+\frac{{y{\;}^2}}{12}$=1，設R（x₀，y₀）是橢圓C上任一點，從原點O向圓R：（x-x₀）²+（y-y₀）²=8作兩條切線，切點分別為P，Q．
（1）若直線OP，OQ互相垂直，且R在第一象限，求圓R的方程；
（2）若直線OP，OQ的斜率都存在，并記為k₁，k₂，求證：2k₁k₂+1=0．

8．設橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點為A，過A于AF₂垂直的直線交x軸于Q點，且$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若過A、Q，F(xiàn)₁三點的圓恰好與直線x+$\sqrt{3}$y+10=0相切，求橢圓C的方程；
（3）過F₁的直線l與（2）中橢圓交于不同的兩點M、N，則△F₁MN的內切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由．

7．如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的AA₁=1，底面ABCD的周長為4．
（1）當長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積最大時，求直線BA₁與平面A₁CD所成角；
（2）線段A₁C上是否存在一點P，使得A₁C⊥平面BPD，若有，求出P點的位置，沒有請說明理由．

6．已知雙曲線與橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$有相同的焦點，且以$x+\sqrt{2}y=0$為其一條漸近線，則雙曲線方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$，過其右焦點且長為4的弦有3條．

5．已知橢圓Q：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）右頂點P（2，0），離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，O為坐標原點．
（1）求橢圓O的方程；
（2）設A、B、M是橢圓上的三點，$\overrightarrow{OM}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{OB}$，點N為線段AB的中點，C、D兩點的坐標分別為（-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0）、（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），求證：|NC|+|ND|=2$\sqrt{2}$．

4．平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A（1，0），B（0，-2），點C滿足$\overrightarrow{OC}$=α$\overrightarrow{OA}$+β$\overrightarrow{OB}$，其中α，β∈R，且α-2β=1．
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設點C的軌跡與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0）交于兩點M，N，且以MN為直徑的圓過原點，求證：$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$為定值；
（3）在（2）的條件下，若橢圓的離心率不大于$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求橢圓長軸長的取值范圍．