Question

7．一質(zhì)量為M、均勻分布的圓環(huán)，其半徑為r，幾何軸與水平面垂直，若它能經(jīng)受的最大張力為T，求此圓環(huán)可以繞幾何軸旋轉(zhuǎn)的最大角速度．

Answer 1

分析 在距離轉(zhuǎn)軸最遠處取一小段，由幾何關(guān)系求出質(zhì)量，由向心力的表達式求出需要的向心力，然后結(jié)合力的合成即可求出．

解答 解：在圓環(huán)上取很一小段，長度為l，質(zhì)量為dm，對應的圓心角為dθ，則：
$l=\frac{R•dθ}{2π}$；
所以：dm=$\frac{l}{2πR}•M=\frac{M}{2π}•dθ$
dm做圓周運動需要的向心力為：f=dmω²R=$\frac{M}{2π}•{ω}^{2}R•dθ$
m受力如圖：
根據(jù)圖可以分析得到，張力T與f大小的關(guān)系為：f=2T•sin$\frac{dθ}{2}$
根據(jù)微分的知識可得此圓環(huán)可以繞幾何軸旋轉(zhuǎn)的最大角速度為：ω=$\frac{\sqrt{2πT}}{\sqrt{MR}}$．
答：此圓環(huán)可以繞幾何軸旋轉(zhuǎn)的最大角速度$\frac{\sqrt{2πT}}{\sqrt{MR}}$．

點評 該題為競賽輔導的題目，解答的關(guān)鍵是使用微元法得出．