9.假設(shè)地球同步衛(wèi)星和月球都繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),已知萬(wàn)有引力常量為G,地球質(zhì)量為M,半徑為R.地球的自轉(zhuǎn)周期為T.月球到地心的距離為r,求:
(1)月球的運(yùn)行速度;
(2)同步衛(wèi)星距離地面的高度;
(3)同步衛(wèi)星和月球的運(yùn)行周期之比.

分析 (1)月球繞地球的萬(wàn)有引力提供向心力,求出運(yùn)行速度
(2)地球的同步衛(wèi)星的萬(wàn)有引力提供向心力,可以求出地球同步衛(wèi)星的高度.
(3)根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出月球的運(yùn)行周期,再求比值

解答 解:(1)月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),萬(wàn)有引力提供向心力,有:
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
解得:$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$
(2)同步衛(wèi)星的萬(wàn)有引力提供向心力,周期等于地球的自轉(zhuǎn)周期,有:
$G\frac{Mm′}{(R+h)_{\;}^{2}}=m′\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}(R+h)$
解得:$h=\root{3}{\frac{GM{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}-R$
(3)月球繞地球運(yùn)行做勻速圓周運(yùn)動(dòng),有:$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{′2}}r$
解得:$T′=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{GM}}$
同步衛(wèi)星和月球的運(yùn)行周期之比為:$\frac{T}{T′}=\frac{T}{\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{GM}}}=T\sqrt{\frac{GM}{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}}$
答:(1)月球的運(yùn)行速度$\sqrt{\frac{GM}{r}}$;
(2)同步衛(wèi)星距離地面的高度$\root{3}{\frac{GM{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}-R$;
(3)同步衛(wèi)星和月球的運(yùn)行周期之比$T\sqrt{\frac{GM}{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}}$.

點(diǎn)評(píng) 解答此題要清楚月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)靠萬(wàn)有引力提供向心力,地球的同步衛(wèi)星的萬(wàn)有引力提供向心力且周期等于地球自轉(zhuǎn)周期.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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