Question

2．如圖所示，一條水平傳送帶兩個(gè)頂點(diǎn)A、B之間的距離為L(zhǎng)=10m，配有主動(dòng)輪O₁和從動(dòng)輪O₂構(gòu)成整個(gè)傳送裝置，輪與傳送帶不打滑，輪半徑為R=0.32m，現(xiàn)用此裝置運(yùn)送一袋面粉，已知這袋面粉與傳送帶之間的摩擦力因數(shù)為μ=0.5，g=10m/s²．
（1）當(dāng)傳送帶以5.0m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，將這袋面粉由A點(diǎn)輕放在傳送帶上后，這袋面粉由A端運(yùn)B端所用時(shí)間為多少？
（2）要想盡快將這袋面粉由A端運(yùn)到B端（設(shè)面袋的初速度為零），主動(dòng)輪O₁的轉(zhuǎn)速至少應(yīng)為多大？
（3）由于面粉的滲漏，在運(yùn)送這袋面粉的過(guò)程中會(huì)在深色傳送帶上留下白色的面粉的痕跡，若這袋面粉在傳送帶上留下的痕跡布滿整條傳送帶時(shí)（設(shè)面袋的初速度為零），則主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速應(yīng)滿足何種條件？

Answer 1

分析 （1）面粉在傳送帶上先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度達(dá)到傳送帶速度后一起做勻速直線運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，求出面粉由A端運(yùn)送到B端所用的時(shí)間．
（2）要想時(shí)間最短，面粉袋應(yīng)一直做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出傳送帶的最小速度，從而根據(jù)v=ωR=2πnR求出主動(dòng)輪Q₁轉(zhuǎn)速的最小值．
（3）傳送帶的速度越大，“痕跡”越長(zhǎng)．當(dāng)面粉的痕跡布滿整條傳送帶時(shí)，痕跡達(dá)到最長(zhǎng)．痕跡的長(zhǎng)度等于相對(duì)路程的大小，通過(guò)面粉袋的位移求出傳送帶的位移，通過(guò)時(shí)間求出主動(dòng)輪的最小速度，從而求出轉(zhuǎn)速的最小值，從而得到主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速應(yīng)滿足的條件．

解答 解：（1）設(shè)面粉的質(zhì)量為m，其在與傳送帶產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)的過(guò)程中所受的摩擦力為：f=μmg
故其勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度為：a=$\frac{μmg}{m}$=μg=5.0 m/s²．
若傳送帶的速度為：v_帶=5.0 m/s，則面粉勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₁=$\frac{{v}_{帶}}{a}$=$\frac{5}{5}$s=1.0 s
在t₁時(shí)間內(nèi)面粉的位移為：s₁=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{1}{2}×5×{1}^{2}$=2.5 m
其后以v=5.0 m/s的速度做勻速運(yùn)動(dòng)，位移為：s₂=l_AB-s₁=vt₂
解得：t₂=1.5 s
故這袋面粉運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：t=t₁+t₂=2.5 s．
（2）要想時(shí)間最短，面粉袋應(yīng)一直向B端做加速運(yùn)動(dòng)，由 l_AB=$\frac{1}{2}$at′²
可得：t′=2.0 s
此時(shí)傳送帶的運(yùn)轉(zhuǎn)速度最小為：v′=at′=5×2=10 m/s
由v=ωr=2πnR可得：轉(zhuǎn)速的最小值 n=300 r/min（或5 r/s）．
（3）傳送帶的速度越大，“痕跡”越長(zhǎng)．當(dāng)面粉的痕跡布滿整條傳送帶時(shí)，痕跡達(dá)到最長(zhǎng)．即痕跡 長(zhǎng)△s=2L+2πR=20+2×3.14×0.32≈22.0 m
在面粉袋由A端運(yùn)動(dòng)到B端的時(shí)間內(nèi)，傳送帶運(yùn)轉(zhuǎn)的距離 s_帶=△s+l_AB=22.0+10.0=32.0 m
又由（2）已知t′=2.0 s，故而有：2πn′R≥$\frac{s}{t}$
則：n′≥480 r/min（或8r/s）．
答：（1）這袋面粉由A端運(yùn)送到Q₁正上方的B端所用的時(shí)間為2.5s．
（2）轉(zhuǎn)速的最小值是300 r/min．
（3）主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速應(yīng)滿足的條件是 n′≥480 r/min．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清面粉袋的運(yùn)動(dòng)情況，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解，同時(shí)要注意把握隱含的臨界狀態(tài)：速度相等．