Question

18．設(shè)四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，且PA⊥面ABCD，PA=AB，E為PD的中點．
（1）求證：直線PD⊥平面AEB；
（2）若直線PC交平面AEB于點F，求直線BF與平面PCD所成的角．

Answer 1

分析 （1）證明：PD⊥AE，PD⊥AB，利用線面垂直的判定定理證明直線PD⊥平面AEB；
（2）以A為坐標原點，建立坐標系，利用向量方法求直線BF與平面PCD所成的角．

解答 （1）證明：∵PA=AB=AD，E為PD的中點，
∴PD⊥AE．
又PA⊥面ABCD，底面ABCD是正方形，
∴AB⊥面PAD，則PD⊥AB
∵AB∩AE=A，∴直線PD⊥平面AEB  …（4分）
（2）解：以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．
∵CD⊥面PAD，∴AE⊥CD，且AE⊥PD
∵CD∩PD=D，∴AE⊥平面PCD，
即$\overrightarrow{AE}$為平面PCD的法向量，$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．…（6分）
∵AB∥CD，AB∥平面PCD，平面AEB∩平面AEFB=EF
∴EF∥AB∥CD，
又E為PD的中點，∴F為PC的中點．…（8分）
∵B（1，0，0），F(xiàn)（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{FB}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），．
設(shè)直線BF與平面PCD所成的角θ，
∴sinθ=|$\frac{-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}•\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
則直線BF與平面PCD所成的角為arcsin$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的判定，考查線面角，考查向量方法的運用，正確運用向量夾角公式是關(guān)鍵．