初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)案

第5講 一次方程（組）及應(yīng)用

【回顧與思考】

【例題經(jīng)典】

掌握一元一次方程的解法步驟

例1  解方程：x-

  【點(diǎn)評】按去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，五步進(jìn)行

掌握二元一次方程組的解法

例2  （2006年棗莊市）已知方程組的解為，求2a-3b的值．

  【點(diǎn)評】將代入原方程組后利用加減法解關(guān)于a，b的方程組．

一次方程的應(yīng)用

例3 （2006年吉林�。�據(jù)某統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，在我國的664座城市中，按水資源情況可分為三類：暫不缺水城市，一般缺水城市和嚴(yán)重缺水城市，其中，暫不缺水城市數(shù)比嚴(yán)重缺水城市數(shù)的4倍少50座，一般缺水城市是嚴(yán)重缺水城市數(shù)的2倍，求嚴(yán)重缺水城市有多少座？

  【點(diǎn)評】一元一次方程或二元一次方程組都可解答此題．

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1．若代數(shù)式3a⁴b^2x與0.2a⁴b^3x-1能合并成一項(xiàng)，則x的值是（  ）

A．         B．1        C．        D．0

2．如果2005-200.5=x-20.05，那么x等于（  ）

    A．1814.55     B．1824.55     C．1774.45    D．1784.45

3．（2006年鹽城市）已知x=1是一元二次方程x²-2mx+1=0的一個解，則m的值是（  ）

A．1       B．0        C．0或1      D．0或-1

4．（2006年青島市）某商店的老板銷售一種商品，他要以不低于進(jìn)價20%的價格才能出售，但為了獲得更多利潤，他以高出進(jìn)價80%的價格標(biāo)價，若你想買下標(biāo)價為360元的這種商品，最多降低多少元，商店老板才能出售（  ）

A．80元    B．100元    C．120元    D．160元

5．若方程組，那么a，b的值是（  ）

A．a(chǎn)=2，b=1     B．a(chǎn)=1，b=0    C．a(chǎn)=1，b=1     D．a(chǎn)=0，b=0

6．足球比賽的計(jì)分規(guī)則為：勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分．某隊(duì)打了14場，負(fù)5場，共得19分，那么這個隊(duì)勝了（  ）

A．4場     B．5場     C．6場    D．13場

7．（2006年隨州市）“雞兔同籠”是我國民間流傳的詩歌形式的數(shù)學(xué)題，“雞兔同籠不知數(shù)，三十六頭籠中露，看來腳有100只，幾多雞兒幾多兔？”解決此問題，設(shè)雞為x只，兔為y只，所列方程組正確的是（  ）

A． 

8．（2006年重慶市）如圖，已知函數(shù)y=ax+b和y=kx的圖象交于點(diǎn)P，則根據(jù)圖像可得，關(guān)于的二元一次方程組的解是（  ）

A．

9．把一張面值50元的人民幣換成10元、5元的人民幣，共有_____種換法．

【能力提升】

10．解方程：

（1）

11．解方程：

（1）（2006年重慶市）；（2）（2005年朝陽區(qū)）

12．（2006年泰州市）揚(yáng)子江藥業(yè)集團(tuán)生產(chǎn)的某種藥品包裝盒的側(cè)面展開圖如圖所示．如果長方體盒子的長比寬多4cm，求這種藥品包裝盒的體積．

13．（2006年重慶市）農(nóng)科所向農(nóng)民推薦渝江Ⅰ號和渝江Ⅱ號兩種新型良種稻谷．在田間管理和土質(zhì)相同的條件下，Ⅱ號稻谷單位面積的產(chǎn)量比Ⅰ號稻谷低20%，但Ⅱ號稻谷的米質(zhì)好，價格比Ⅰ號高，已知Ⅰ號稻谷國家的收購價是1.6元/千克．

    （1）當(dāng)Ⅱ號稻谷的國家收購價是多少時，在田間管理、土質(zhì)和面積相同的兩塊田里分別種植Ⅰ號、Ⅱ號稻谷的收益相同？

    （2）去年小王在土質(zhì)、面積相同的兩塊田里分別種植Ⅰ號、Ⅱ號稻谷，且進(jìn)行了相同的田間管理．收獲后，小王把稻谷全部賣給國家．賣給國家時，Ⅱ號稻谷的收購價定為2.2元/千克，Ⅰ號稻谷國家的收購價未變，這樣小王賣Ⅱ號稻谷比賣Ⅰ號稻谷多收入1040元，那么小王去年賣給國家的稻谷共有多少千克？

14．某酒店客房部有三人間，雙人間客房，收費(fèi)數(shù)據(jù)如下表：

普通（元/間/天）

豪華（元/間/天）

三人間

     150

     300

雙人間

     140

     400

為吸引游客，實(shí)行團(tuán)體入住五折優(yōu)惠措施，一個50人的旅游團(tuán)優(yōu)惠期間到該酒店入住，住了一些三人普通間和雙人普通間客房．若每間客房正好住滿，且一天共花去住宿費(fèi)1510元，則旅游團(tuán)住了三人普通間和雙人普通間客房各多少間？

【應(yīng)用與探索】

15．（2005年岳陽市）某體育彩票經(jīng)售商計(jì)劃用45000元從省體彩中心購進(jìn)彩票20扎，每扎1000張，已知體彩中心有A，B，C三種不同價格的彩費(fèi)，進(jìn)價分別是A種彩票每張1.5元，B種彩票每張2元，C種彩票每張2.5元．

    （1）若經(jīng)銷商同時購進(jìn)兩種不同型號的彩票20扎，用去45000元，請你設(shè)計(jì)進(jìn)票方案；

    （2）若銷售A型彩票一張獲手續(xù)費(fèi)0.2元，B型彩票一張獲手續(xù)費(fèi)0.3元，C型彩票一張獲手續(xù)費(fèi)0.5元．在購進(jìn)兩種彩票的方案中，為使銷售完時獲得手續(xù)費(fèi)最多，你選擇哪種進(jìn)票方案？

    （3）若經(jīng)銷商準(zhǔn)備用45000元同時購進(jìn)A，B，C三種彩票20扎，請你設(shè)計(jì)進(jìn)票方案．

答案：

例題經(jīng)典 

例1：x=1  例2：2a-3b=6  例3：102座

考點(diǎn)精練 

1．B  2．B  3．A  4．C  5．B  6．B  7．B  8．C 

9．六種  10．（1）  （2）x=5 

11．（1）

=2（元） 

（2）設(shè)賣給國家的Ⅰ號稻谷x千克，則x（1-20%）×2.2=1.6x+1040，解得x=6500，

所以x+（1-20%）x=1.8x=11700（千克），答：略 

14．三人間8間，兩人間13間 

15．解：可設(shè)經(jīng)銷商從體彩中心購進(jìn)A種彩票x張，B種彩票y張，C種彩票z張，

則可分以下三種情況考慮：

（1）只購進(jìn)A種彩票和B種彩票，依題意可列方程組

解得x<0，所以無解．只購進(jìn)A種彩票和C種彩票，

依題意可列方程組，

只購進(jìn)B種彩票和C種彩票，依題可列方程組，綜上所述，若經(jīng)銷商同時購進(jìn)不同型號的彩票，共有兩種方案可行，即A種彩票5扎，C種彩票15扎或B種彩票與C種彩票各10扎．

（2）若購進(jìn)A種彩票5扎，C種彩票15扎，銷售完后獲手續(xù)費(fèi)為0.2×5000+0.5×15000=8500（元）；若購進(jìn)B種彩票與C種彩票各10扎，銷售完后獲手續(xù)費(fèi)為0.3×10000+0.5×10000=8000（元），∴為使銷售完時獲得手續(xù)費(fèi)最多，選擇的進(jìn)票方案為A種彩票5扎，C種彩票15扎．

（3）若經(jīng)銷商準(zhǔn)備用45000元同時購進(jìn)A，B，C三種彩票20扎．設(shè)購進(jìn)A種彩票x扎，B種彩票y扎，C種彩票z扎，

則

∴1≤x<5，

又∵x為正整數(shù)，共有4種進(jìn)票方案，即A種1扎，B種8扎，C種11扎，或A種2扎，B種6扎，C種12扎，或A種3扎，B種4扎，C種13扎，或A種4扎，B種2扎，C種14扎．

試題詳情

初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)案

第四講 數(shù)的開方與二次根式

【回顧與思考】

【例題經(jīng)典】

理解二次根式的概念和性質(zhì)

例1 （1）（2006年南通市）式子有意義的x取值范圍是________．

    【點(diǎn)評】從整體上看分母不為零，從局部看偶次根式被開方數(shù)為非負(fù)．

   （2）已知a為實(shí)數(shù)，化簡．

    【點(diǎn)評】要注意挖掘其隱含條件：a<0．

掌握最簡二次根式的條件和同類二次根式的判斷方法

例2（2006年海淀區(qū)）下列根式中能與合并的二次根式為（  ）

      A．

   【點(diǎn)評】抓住最簡二次根式的條件，結(jié)合同類二次根式的概念去解決問題．

掌握二次根式化簡求值的方法要領(lǐng)

例3 （2006年長沙市）先化簡，再求值:

     若a=4+，b=4-，求．

   【點(diǎn)評】注意對求值式子進(jìn)行變形化簡約分，再對已知條件變形整體代入．

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1．的平方根為_______，-的立方根為_______．

2．當(dāng)x_______時，式子+有意義；當(dāng)x________時，式子+x無意義．

3．（2006年大連市）計(jì)算=_________．

4．（2005年上海市）計(jì)算-（+2）=_________．

5．（2006年煙臺市）若x+=5，則-=______．

6．下列敘述中正確的是（  ）

    A．正數(shù)的平方根不可能是負(fù)數(shù)    B．無限小數(shù)都是無理數(shù)

    C．實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)上的點(diǎn)一一對應(yīng)    D．帶根號的數(shù)是無理數(shù)

7．（2005年福州市）下列各式中屬于最簡二次根式的是（  ）

A．

8．（2006年恩施自治州）若4可以合并，則m的值為（  ）

A．

9．（2006年連云港市）能使等式成立的x的取值范圍是（  ）

A．x≠2    B．x≥0    C．x>2     D．x≥2

10．（2005年長沙市）小明的作業(yè)本上有以下四題：①=4a；②a；③a；④（a≠0），做錯的題是（  ）

A．①     B．②     C．③    D．④

11．對于實(shí)數(shù)a、b，若=b-a，則（  ）

A．a(chǎn)>b      B．a(chǎn)<b     C．a(chǎn)≥b     D．a(chǎn)≤b

12．計(jì)算．

【能力提升】

13．（1）若0<x<1，則=_________．

（2）若=x-4+6-x=2，則x的取值范圍為__________．

14．（1）（2005年廣州市）用計(jì)算器計(jì)算，…，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，判斷P=（n為大于1的整數(shù)）的值的大小關(guān)系為（  ）

      A．P<Q      B．P=Q    C．P>Q     D．與n的取值有關(guān)

  （2）甲、乙兩同學(xué)對代數(shù)式（a>0，b>0）分別作如下的變形：

       甲：=;

       乙：=.

    這兩種變形過程的下列說法中，正確的是（  ）

      A．甲、乙都正確             B．甲、乙都不正確

      C．只有甲正確               D．只有乙正確

  （3）（2006年桂林市）觀察下列分母有理化的計(jì)算:

  ……，

從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律利用規(guī)律計(jì)算:

（+1）=_________．

15．化簡式計(jì)算:

（1）（2006年錦州市）計(jì)算：.

（2）（2005年山東�。┮阎獂=2-，y=2+，

求的值．

【應(yīng)用與探究】

16．（2006年內(nèi)江市）對于題目“化簡求值：+，其中a=”甲、乙兩人的解答不同．

甲的解答是：+=+；

乙的解答是：+=+，

誰的解答是錯誤的是，為什么？

答案:

例題經(jīng)典 

例1：（1）x<2  （2）（1-a） 

例2：B 

例3：，值為

考點(diǎn)精練 

1．±2  -  2．x≥-且x≠0，x≤2  3．2a  4．-2 

5．±  6．C  7．A  8．D 9．C  10．D  11．D 

12．-  13．（1）  （2）4≤x≤6 

14．（1）A  （2）D  （3）2006 

15．①-  ②2，值為2 

16．乙解答是錯誤的，

∵a=，

∴│-a│=-a，而不是a-．

試題詳情

初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)案

第三講 因式分解與分式

【回顧與思考】

【例題經(jīng)典】

掌握因式分解的概念及方法

例1  分解因式：

    ①x³-x²=_______________________;

    ②（2006年綿陽市）x²-81=______________________;

    ③（2005年泉州市）x²+2x+1=___________________;

    ④a²-a+=_________________;

    ⑤（2006年湖州市）a³-2a²+a=_____________________.

    【點(diǎn)評】運(yùn)用提公因式法，公式法及兩種方法的綜合來解答即可.

熟練掌握分式的概念：性質(zhì)及運(yùn)算

例2  （1）若分式的值是零，則x=______．

    【點(diǎn)評】分式值為0的條件是：有意義且分子為0．

    （2）同時使分式有意義，又使分式無意義的x的取值范圍是（  ）

      A．x≠-4且x≠-2                B．x=-4或x=2

      C．x=-4                         D．x=2

    （3）如果把分式中的x和y都擴(kuò)大10倍，那么分式的值（  ）

      A．?dāng)U大10倍    B．縮小10倍    C．不變    D．?dāng)U大2倍

因式分解與分式化簡綜合應(yīng)用

例3 （2006年常德市）先化簡代數(shù)式：，然后選取一個使原式有意義的x的值代入求值．

  【點(diǎn)評】注意代入的數(shù)值不能使原分式分母為零，否則無意義．

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1．（2006年嘉興市）一次課堂練習(xí)，小敏同學(xué)做了如下4道因式分解題，你認(rèn)為做得不夠完整的一題是（  ）

    A．x³-x=x（x²-1）               B．x²-2xy+y²=（x-y）²

C．x²y-xy²=xy（x-y）            D．x²-y²=（x-y）（x+y）

2．下列各式能分解因式的個數(shù)是（  ）

    ①x²-3xy+9y²     ②x²-y²-2xy     ③-a²-b²-2ab

    ④-x²-16y²       ⑤-a²+9b²       ⑥4x²-2xy+y²

A．5個       B．4個        C．3個       D．2個

3．（2006年諸暨市）如果從一卷粗細(xì)均勻的電線上截取1米長的電線，稱得它的質(zhì)量為a克，再稱得剩余質(zhì)量為b克，那么原來這卷電線的總長度是（  ）

A．米     B．（+1）米    C．（+1）米     D．（+1）米

4．若x-=7，則x²+的值是（  ）

A．49      B．48     C．47      D．51

5.（2006年黃岡市）計(jì)算:的結(jié)果為（  ）

A．1      B．

6．已知兩個分式：A=，其中x≠±2，則A與B的關(guān)系是（  ）

A．相等     B．互為倒數(shù)    C．互為相反數(shù)   D．A大于B

7．將a³-a分解因式，結(jié)果為________．

8．分解因式2x²+4x+2=________________．

9．（2006年鹽城市）函數(shù)y=中，自變量x的取值范圍是________．

10．化簡：?（x²-9）.

【能力提升】

11．分解因式：

（1）（2006年成都市）a³+ab²-2a²b;

  （2）（2006年懷化市）已知a=2006x+2007，b=2006x+2006，c=2006x+2005．

求2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac的值．

12．化簡：.

13．（2006年莆田市）化簡求值：，其中a=．

14．（2006年長沙市）先化簡再求值：，其中a滿足a²-a=0．

15．（2006年揚(yáng)州市）先化簡（1+，然后請你給a選取一個合適的值，代入求值．

【應(yīng)用與探究】

16．（2005年紹興市）已知P=，Q=（x+y）²-2y（x+y），小敏、小聰兩人在x=2-y=-1的條件下分別計(jì)算了P和Q的值．小敏說P的值比Q大，小聰說Q的值比P大．請你判斷誰的結(jié)論正確，并說明理由．

答案:

例題經(jīng)典 

例1：（1）x²（x-1）  （2）（x+9）（x-9） 

（3）（x+1）²   （4）（a-）²  （5）a（a-1）² 

例2：（1）x=  （2）D  （3）C 

例3：化簡結(jié)果為x²+1

考點(diǎn)精練 

1．A  2．C  3．B  4．D  5．A  6．C 

7．a(chǎn)（a+1）（a-1）  8．2（x+1）²  9．x≠1的全體實(shí)數(shù) 

10．x+3  11．（1）a（a-b）²  （2）（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²=6 

12．-=  

14．a(chǎn)²-a-2=-2 

15．化簡結(jié)果a+2，a不能取值±2 

16．解：∵P===x+y，

∴當(dāng)x=2，y=-1時，P=1，∴當(dāng)Q=（x+y）²-2y（x+y）=x²-y²，

∴當(dāng)x=2，y=-1時，Q=3，∴P<Q，∴小聰?shù)慕Y(jié)論正確．

試題詳情

初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)案

第二講 整式

【回顧與思考】

【例題經(jīng)典】

冪的運(yùn)算性質(zhì)

例1（1）a^m?aⁿ=_______（m，n都是正整數(shù)）；

    （2）a^m÷aⁿ=________（a≠0，m，n都是正整數(shù)，且m>n），特別地：a⁰=1（a≠0），a^-p=（a≠0，p是正整數(shù)）；

    （3）（a^m）ⁿ=______（m，n都是正整數(shù)）；

    （4）（ab）ⁿ=________（n是正整數(shù)）

    （5）平方差公式：（a+b）（a-b）=_________．

    （6）完全平方公式：（a±b）²=__________．

    【點(diǎn)評】能夠熟練掌握公式進(jìn)行運(yùn)算.

同類項(xiàng)的概念

例2  若單項(xiàng)式2a^m+2nb^n-2m+2與a⁵b⁷是同類項(xiàng)，求n^m的值．

    【點(diǎn)評】考查同類項(xiàng)的概念，由同類項(xiàng)定義可得 解出即可

整式的化簡與運(yùn)算

例3  （2006年江蘇�。┫然�簡，再求值：

    [（x-y）²+（x+y）（x-y）]÷2x其中x=3，y=-1．5．

    【點(diǎn)評】本例題主要考查整式的綜合運(yùn)算，學(xué)生認(rèn)真分析題目中的代數(shù)式結(jié)構(gòu)，靈活運(yùn)用公式，才能使運(yùn)算簡便準(zhǔn)確．

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1．下列運(yùn)算正確的是（  ）

A．a(chǎn)⁵?a³=a¹⁵     B．a(chǎn)⁵-a³=a²     C．（-a⁵）²=a¹⁰     D．a(chǎn)⁶÷a³=a²

2．（2006年黃岡市）下列運(yùn)算正確的是（  ）

    A．2x⁵-3x³=-x²                B．2+2=2

C．（-x）⁵?（-x²）=-x¹⁰      D.（3a⁶x³-9ax⁵）÷（-3ax³）=3x²-a⁵

3．隨著新農(nóng)村建設(shè)的進(jìn)一步加快，湖州市農(nóng)村居民人均純收入增長迅速．據(jù)統(tǒng)計(jì)，2005年本市農(nóng)村居民純收入比上一年增長14.2%，若2004年湖州市農(nóng)村居民純收入為a元，則2005年農(nóng)村居民人均純收入可表示為（  ）

A．14.2a元   B．1.42a元   C．1.142a元   D．0.142a元

4．（2006年成都市）已知代數(shù)式x^a-1y³與-3x^-by^2a+b是同類項(xiàng)，那么a、b的值分別是（  ）

A．

5．從邊長為a的正方形內(nèi)去掉一個邊長為b的小正方形（如圖1），然后將剩余部分剪拼成一個矩形（如圖2），上述操作所能驗(yàn)證的等式是（  ）

    A．a(chǎn)²-b²=（a+b）（a-b）         B.（a-b）²=a²-2ab+b²

C.（a+b）²=a²+2ab+b²            D．a(chǎn)²+ab=a（a+b）

6．全國中小學(xué)危房改造工程實(shí)施五年來，已改造農(nóng)村中小學(xué)危房7800萬平方米，如果按一幢教學(xué)樓的總面積是750平方米計(jì)算，那么該項(xiàng)改造工程共修建教學(xué)樓大約有（  ）

A．10幢     B．10萬幢     C．20萬幢    D．100萬幢

7．已知x-y=2，則x²-2xy+y²=_________．

8．（2005年蘭州市）某公司成立3年以來，積極向國家上繳利稅，由第一年的200萬元，增長到800萬元，則平均每年增長的百分?jǐn)?shù)是_________．

9．將連續(xù)的自然數(shù)1至36按右圖的方式排成一個正方形陣列，用一個小正方形任意圈出其中的9個數(shù)，設(shè)圈出的9個數(shù)的中心的數(shù)為a，用含有a的代數(shù)式表示這9個數(shù)的和為__________．

10．用火柴棒按下圖中的方式搭圖形．

    （1）按圖示規(guī)律填空：

（2）按照這種方式搭下去，搭第n個圖形需要_________根火柴棒．

【能力提升】

11．2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示），如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b，那么（a+b）²的值為（  ）

A．13     B．19     C．25     D．169

12．先化簡，再求值:5x²-（3y²+5x²）+（4y²+7xy）,其中x=-1，y=1-．

13．（2006年常德市）右邊是一個有規(guī)律排列的數(shù)表，請用含n的代數(shù)式（n為正整數(shù)），表示數(shù)表中第n行第n列的數(shù)：______________．

14．（2005年廣東�。┤鐖D，某長方形廣場的四角都有一塊半徑相同的四分之一圓形的草地，若圓形的半徑為r米，長方形長為a米，寬為b米．

    （1）請用代數(shù)式表示空地的面積．

（2）若長方形長為300米，寬為200米，圓形的半徑為10米，求廣場空地的面積（結(jié)果保留準(zhǔn)確值）．

【應(yīng)用與探究】

15．（2006年泉州市）某校的一間階梯教室，第1排的座位數(shù)為a，從第2排開始，第一排都比前一排增加b個座位．

    （1）請你在下表的空格里填寫一個適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式：

第1排的

 座位數(shù)

第2排的

 座位數(shù)

第3排的

 座位數(shù)

第4排的

 座位數(shù)

   a

  a+b

  a+2b

    （2）已知第4排有18個座位，第15排座位數(shù)是第5排座位數(shù)的2倍，求第21排有多少個座位？

答案:

例題經(jīng)典 

例1：（1）a^m+n  （2）a^m-n  （3）a^mn  

（4）aⁿbⁿ  （5）a²-b²  （6）a²±2ab+b²  

例2：先求出n=3，m=-1則n^m= 

例3：x-y=4.5

考點(diǎn)精練：

1．C  2．D  3．C  4．A  5．A  6．B 

7．4  8．100%  9．9a 

10．（1）

（1）

（2）

（3）

 5

  9

 13

（4）4n+1  11．C  12．5-4 

13．n²-（n-1） 

14.（1）（ab-r²）米² 

（2）（60000-100）米²  

15.（1）a+3b  （2）52個.

試題詳情

第三節(jié)  梯形

【回顧與思考】

【例題經(jīng)典】

與梯形有關(guān)的計(jì)算

例1．（2005年海南�。┤鐖D，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=60°，AD=10，AB=18，求BC的長．

    【分析】在梯形中常通過作腰的平行線，構(gòu)造平行四邊形、三角形，從而把分散的條件集中到三角形中去，從而為解題創(chuàng)造必要的條件．

等腰梯形的判定

例2．（2005年南通市）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，對角線AC⊥BD于F，過點(diǎn)F作EF∥AB，交AD于點(diǎn)E，CF=4cm．

    （1）求證：四邊形ABFE為等腰梯形；

（2）求AE的長．

    【分析】采用“階梯”方法解決（1），先說明四邊形ABFE為梯形，再說明AE=BF，作DG⊥AB于G，利用CD=AB解決AE=BF．（2）問要利用Rt△BCF∽Rt△ABF，求出AF長，再用BF²=CF?AF，即可求出BF長，進(jìn)而得到AE長．

梯形性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例3．（2006年河南�。┤鐖D，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，E為底邊BC的中點(diǎn)，且DE∥AB，試判斷△ADE的形狀，并給出證明．

   【解析】△ADE是等邊三角形．

    理由如下：∵AB=CD，∴梯形ABCD為等腰梯形，

    ∵∠B=∠C．

    ∴E為BC的中點(diǎn)，

    ∵BE=CE．

    在△ABE和△DCE中，

    ∵

    ∴△ABE≌△DCE．

    ∵AE=DE．

    ∴AD∥BC，DE∥AB，

    ∴四邊形ABCD為平行四邊形．

    ∴AB=DE

    ∵AB=AD，

    ∴AD=AE=DE．

    ∴△ADE為等邊三角形．

【考點(diǎn)精練】

試題詳情

第二節(jié)  矩形、菱形、正方形

【回顧與思考】

【例題經(jīng)典】

會用“階梯型”思路判定特殊平行四邊形

例1．（2005年黃岡市）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足為D，交AB于點(diǎn)E，又點(diǎn)F在DE的延長線上，且AF=CE．求證：四邊形ACEF為菱形．

    【分析】欲證四邊形ACEF為菱形，可先證四邊形ACEF為平行四邊形，然后再證ACEF為菱形，當(dāng)然，也可證四條邊相等，直接證四邊形為菱形．

矩形、菱形的綜合應(yīng)用

例2．（2006年青島市）如圖，在ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對角線，AG∥DB交CB的延長線于G．

（1）求證：△ADE≌△CBF；

（2）若四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．

    【解析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形

    ∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD．

    ∵點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，

    ∴AE=AB，CF=CD．

    ∴AE=CF．

    ∴△ADE≌△CBF．

    （2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，四邊形AGBD是矩形．

    ∵四邊形ABCD是平行四邊形，

    ∴AD∥BC．

    ∵AG∥BD，

    ∴四邊形AGBD是平行四邊形．

    ∵四邊形BEDF是菱形，

    ∴DE=BE．

    ∵AE=BE，

    ∴AE=BE=DE．

    ∴∠1=∠2，∠3=∠4．

    ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

    ∴2∠2+2∠3=180°．

    ∴∠2+∠3=90°．

    即∠ADB=90°，

    ∴四邊形AGBD是矩形．

會解決與特殊平行四邊形有關(guān)的動手操作問題

例3．（2005年吉林�。┤鐖D，在矩形紙片ABCD中，AB=3，BC=6，沿EF折疊后，點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)P處，點(diǎn)D落在點(diǎn)Q處，AD與PQ相交于點(diǎn)H，∠BPE=30°．

  （1）求BE、QF的長．（2）求四邊形PEFH的面積．

    【分析】折疊型試題是近年中考試題的熱點(diǎn)，要想解好此類題，考生必須有想像力，抓住折疊的角與邊不發(fā)生變化，必要時需要考生剪一個四邊形實(shí)際折疊一下幫助理解．

【考點(diǎn)精練】

試題詳情

第四節(jié) 直角三角形

【回顧與思考】

    直角三角形

【例題經(jīng)典】

直角三角形兩銳角互余

例1．如圖，有兩個長度相同的滑梯（即BC=EF），左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，則∠ABC+∠DFE=______．

    【分析】∠ABC與∠DFE分布在兩個直角三角形中，若說明這兩個直角三角形全等則問題便會迎刃而解．

【解答】在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF，

∴△ABC≌△DEF，∴∠ABC=∠DEF，

∴∠ABC+∠DFE=90°，因此填90°．

    【點(diǎn)評】此例主要依據(jù)用所探索的直角三角形全等的條件來識別兩個直角三角形全等，并運(yùn)用與它相關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行解題．

特殊直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用

例2．（2006年包頭市）《中華人民共和國道路交通管理?xiàng)l例》規(guī)定：“小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過70千米/時”．一輛小汽車在一條城市街道上由西向東行駛（如圖所示），在距離路邊25米處有“車速檢測儀O”，測得該車從北偏西60°的A點(diǎn)行駛到北偏西30°的B點(diǎn)，所用時間為1．5秒．

  （1）試求該車從A點(diǎn)到B的平均速度；（2）試說明該車是否超過限速．

【解析】（1）要求該車從A點(diǎn)到B點(diǎn)的速度．只需求出AB的距離，

在△OAC中，OC=25米．∵∠OAC=90°-60°=30°，∴OA=2CO=50米

    由勾股定理得CA==25（米）

    在△OBC中,∠BOC=30°

    ∴BC=OB.

    ∴（2BC）²=BC²+25²

    ∴BC=（米）

    ∴AB=AC-BC=25-=（米）

    ∴從A到B的速度為÷1.5=（米/秒）

    （2）米/秒≈69.3千米/時

    ∵69.3千米/時<70千米/時

    ∴該車沒有超過限速．

    【點(diǎn)評】此題應(yīng)用了直角三角形中30°角對的直角邊是斜邊的一半及勾股定理，也是幾何與代數(shù)的綜合應(yīng)用．

勾股定理的逆定理的應(yīng)用

例3．如圖，正方形網(wǎng)格中，小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，小華按下列要求作圖：①在正方形網(wǎng)格的三條不同的實(shí)線上各取一個格點(diǎn)，使其中任意兩點(diǎn)不在同一實(shí)線上；②連結(jié)三個格點(diǎn)，使之構(gòu)成直角三角形，小華在下面的正方形網(wǎng)格中作出了Rt△ABC．請你按照同樣的要求，在右邊的兩個正方形網(wǎng)格中各畫出一個直角三角形，并使三個網(wǎng)格中的直角三角形互不全等．

    簡析：此題的答案可以有很多種，關(guān)鍵是抓住有一直角這一特征，可以根據(jù)勾股定理的逆定理“有兩邊的平方和等于第三邊的平方，則三角形為直角三角形”構(gòu)造出直角三角形，答案如下圖．

【考點(diǎn)精練】

試題詳情

第五章  四邊形

第一節(jié)  多邊形與平行四邊形

【回顧與思考】

【例題經(jīng)典】

利用平行四邊形的性質(zhì)求面積

例1．（2006年河南�。┤鐖D，在ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，連結(jié)AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F，求證：S_△ABF=S_ABCD．

    【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC．

    ∵E是DC的中點(diǎn)，∴DE=CE．

    ∴△AED≌△FEC．

    ∴S_△AED =S_△FEC．

    ∴S_△ABF =S_{四邊形ABCE}+S_△CEF =S_{四邊形ABCE}+S_△AED =S_ABCD

會根據(jù)條件選擇適當(dāng)方法判定平行四邊形

例2．（2005年山東�。┤鐖D，在ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F是對角線AC上的兩點(diǎn)，當(dāng)E、F滿足下列哪個條件時，四邊形DEBF不一定是平行四邊形（  ）

A．OE=OF     B．DE=BF     C．∠ADE=∠CBF    D．∠ABE=∠CDF

    【分析】雖然判別平行四邊形可從“邊、角、對角線”三個角度來考慮，但此例圖中已有對角線，所以最適當(dāng)方法應(yīng)是“對角線互相平分的四邊形為平行四邊形”．

能利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算

例3．（2005年西寧市）如圖，在ABCD中，已知對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，△AOB的周長為15，AB=6，那么對角線AC+BD=_______．

    【分析】本例解題依據(jù)是：平行四邊形的對角線互相平分，先求出AO+BO=9，再求得AC+BD=18．

【考點(diǎn)精練】

試題詳情

初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)案

第一講  實(shí)數(shù)

【回顧與思考】

【例題經(jīng)典】

理解實(shí)數(shù)的有關(guān)概念

例1 ①a的相反數(shù)是-,則a的倒數(shù)是_______．

②實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示:

      則化簡│b-a│+=______．

③（2006年泉州市）去年泉州市林業(yè)用地面積約為10200000畝,用科學(xué)記數(shù)法表示為約______________________．

【點(diǎn)評】本大題旨在通過幾個簡單的填空，讓學(xué)生加強(qiáng)對實(shí)數(shù)有關(guān)概念的理解．

掌握實(shí)數(shù)的分類

例2  下列實(shí)數(shù)、sin60°、、（）⁰、3.14159、-、（-）^-2、中無理數(shù)有（  ）個

     A．1      B．2        C．3       D．4

【點(diǎn)評】對實(shí)數(shù)進(jìn)行分類不能只看表面形式，應(yīng)先化簡，再根據(jù)結(jié)果去判斷．

快速準(zhǔn)確地進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算

例3 （2006年成都市）計(jì)算：-+（-2）²×（-1）⁰-│-│．

    【點(diǎn)評】按照運(yùn)算順序進(jìn)行乘方與開方運(yùn)算。

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1．下列語句：①無理數(shù)的相反數(shù)是無理數(shù)；②一個數(shù)的絕對值一定是非負(fù)數(shù)；③有理數(shù)比無理數(shù)小；④無限小數(shù)不一定是無理數(shù)，其中正確的是（  ）

A．①②③    B．②③④    C．①②④    D．②④

2．（2005年長沙市）已知a、b兩數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示,下列結(jié)論正確的是（  ）

A．a(chǎn)>b     B．a(chǎn)b<0     C．b-a>0     D．a(chǎn)+b>0

3．（2006年蕪湖市）三峽工程是世界防洪效益最為顯著的水利工程,它能有效控制長江上游洪水，增強(qiáng)長江中下游抗洪能力,據(jù)相關(guān)報(bào)道三峽水庫的防洪庫容22150000000m³，用科學(xué)計(jì)數(shù)法可記作（  ）

    A．221.5×10⁸m³        B．22.15×10⁹m³

C．2.215×10¹⁰m³       D．2215×10⁷m³

4．9的相反數(shù)的倒數(shù)是（  ）

A．-9      B．       C．9       D．-

5．（2005年武漢市）如圖，一電線桿AB的高為10米，當(dāng)太陽光線與地面的夾角為60度時，其影長AC約為（取1.732，結(jié)果保留3個有效數(shù)字）

A．5.00米     B．8.66米     C．17.3米     D．5.77米

6．（2006年常德市）下列計(jì)算正確的是（  ）

A．=±4     B．3-2=1    C．24÷=4    D．?=2

7．（2006年南通市）一個籃球需要m元，買一個排球需要n元，則買3個籃球和5個排球共需要_________元．

8．（2006湖州市）青蛙在如圖8×8的正方形（每個小正方形的邊長為1）網(wǎng)格的格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上跳躍，青蛙每次所跳的最遠(yuǎn)距離為，青蛙從點(diǎn)A開始連續(xù)跳六次正好跳回到點(diǎn)A，則所構(gòu)成的封閉圖形的面積的最大值是________．

9．圖中是一幅“蘋果圖”，第一行有1個蘋果，第二行有2個，第三行有4個，第四行有8個，……你是否發(fā)現(xiàn)蘋果的排列規(guī)律？猜猜看，第十行有______個蘋果．

【能力提升】

10．計(jì)算：│-12│÷（-+--）;

11．若a、b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，m的絕對值為2，求a²-b²+（cd）^-1÷（1-2m+m²）的值．

12．?dāng)?shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示: 化簡.

13．（2006年臨安市）已知：2+=2²×，3+=3²×，4+

，…，若10+=10²×符合前面式子的規(guī)律，則a+b=________．

14．（2006年江陰市）將正偶數(shù)按下表排列：

           第1列  第2列  第3列  第4列

    第1列    2

    第2列    4      6

    第3列    8     10      12

    第4列   14     16      18     20

    ……

根據(jù)上面的規(guī)律，則2006所在行、列分別是________．

應(yīng)用與探究

15．（2005年遼寧�。┰跀�(shù)學(xué)活動中，小明為了求+的值（結(jié)果用n表示）,設(shè)計(jì)如圖（1）所示的幾何圖形．

    （1）請你利用這個幾何圖形求+ 的值為_______．

    （2）請你利用圖（2）再設(shè)計(jì)一個能求+的值的幾何圖形．

                                        (1)                        (2)

【答案】

例題經(jīng)典  例1：（1）5  （2）2a-2b  （3）1.02×10⁷  例2：C  例3：1-2

考點(diǎn)精練  1．C  2．A  3．C  4．D  5．D  6．D  7．3m+5n  8．10  9．2⁹（512）  10．-  11．1或  12．-b  13．109  14．第45行第13列 

15．（1）1-

    (2)

試題詳情

第三節(jié) 等腰三角形

【回顧與思考】

    等腰三角形

【例題經(jīng)典】

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)尋求規(guī)律

例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，BD與CE相交于點(diǎn)O，如圖，∠BOC的大小與∠A的大小有什么關(guān)系？

    若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，則∠BOC與∠A大小關(guān)系如何？

若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，則∠BOC與∠A大小關(guān)系如何？

【分析】在上述條件由特殊到一般的變化過程中，

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，∠1=∠2，∠ABD=∠ACE，

即可得到∠1=∠ABC，∠2=∠ACB時，∠BOC=90°+∠A；

∠1=∠ABC，∠2=∠ACB時，∠BOC=120°+∠A；

∠1=∠ABC，∠2=∠ACB時，∠BOC=?180°+∠A．

    【點(diǎn)評】在例1圖中，若AE=AB，AD=AC．類似上題方法同樣可證得BD=CE．上述規(guī)律仍然存在．

會用等腰三角形的判定和性質(zhì)計(jì)算與證明

例2．如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中線BD將這個等腰三角形周長分成15和6兩部分，求這個三角形的腰長及底邊長．

    【分析】要分AB+AD=15，CD+BC=6和AB+AD=6，CD+BC=15兩種情況討論．

利用等腰三角形的性質(zhì)證線段相等

例3．（2006年常德市）如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC，以BP為邊作∠PBQ=60°，且BQ=BP，連結(jié)CQ．

    （1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（2）若PA：PB：PC=3：4：5，連結(jié)PQ，試判斷△PQC的形狀，并說明理由．

    【分析】（1）把△ABP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°即可得到△CBQ．利用等邊三角形的性質(zhì)證△ABP≌△CBQ，得到AP=CQ．（2）連接PQ，則△PBQ是等邊三角形．PQ=PB，AP=CQ故CQ：PQ：PC=PA：PB：PC=3：4：5，∴△PQC是直角三角形．

    【點(diǎn)評】利用等邊三角形性質(zhì)、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識點(diǎn)完成此題的證明．

【考點(diǎn)精練】

試題詳情