(七)平面與平面平行，平面與平面垂直

例7　 如圖，在△ABC中，AD⊥BC，E為AD上的三 等分點(diǎn)，AE＝ED，過E的直線MN∥BC，交AB、AC于M、N，將△AMN折起 到與平面MBCN成60°，求證：平面A′MN⊥平面A′BC.

證明：∵AD⊥BC，BC∥MN

∴A′E和ED都垂直于MN，

∴∠A′ED是二面角A′MN-MN-MBCN的平面角， ∴∠A′ED＝60°，A′E＝AE＝ED＝ED·cos60°.

∴△A′ED是直角三角形，且A′E⊥A′D.

又∵A′E⊥MN，MN∥BC，

∴A′E⊥BC，而BC∩A′D＝D.

∴A′E⊥平面A′BC，

∵A′E面A′MN，

∴平面A′MN⊥平面A′BC.

(六)異面直線所成的角、直線與平面所成的角

例6　 如圖，四面體OABC中，OA、OB、OC兩兩垂直， ∠OBA=45°,∠OBC=60°，M為AB的中點(diǎn)，求：

(1)BC與平面OAB所成的角；

　(2)OC與平面ABC所成的角。

解　 (1)因OC⊥OB，OC⊥AO，AO∩BO=0，

故 OC⊥面OAB。

故 ∠OBC為BC與平面OAB所成的角。

由已知∠OBC=60°，即為所求。

(2)因OA⊥OB，∠ABO=45°，M為AB中點(diǎn)

則 OM⊥AB，而OC⊥AB，OC∩OM=O

所以 AB⊥面OMC，而AB面OAB，

所以 面OAB⊥面OMC，

過O作OH⊥MC于H，則OH⊥面ABC

故 ∠OCM為OC與面ABC所成的角。

設(shè)OA＝a,則OM＝a

又OB＝a,則OC＝a，

tg∠OCM==,

所以 ∠OCM=arctg.

(五)三垂線定理及逆定理

例5　 已知：如圖，S為 正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，SA⊥平面ABCD，過A作截面 AEKH⊥SC.

求證：AE⊥SB，AH⊥SD，AK⊥HE.

證明：

AE⊥平面SBCAE⊥SB.

同理可證AH⊥平面SDC，故AH⊥SD.又∵ABCD為正方形，∴Rt△SAD≌Rt△SAB.故SD＝SB，SH＝SE.

∴HE∥DB.SA⊥DB，則SA⊥HE，SK⊥平面AEKH，AK是SA在截面上的射影，故HE⊥AK(三垂線定 理的逆定理).

(四)直線平面垂直的判定與性質(zhì)定理

例4　 如圖，△ABC為等腰三角形，其頂角A為鈍角， D為底邊BC的中點(diǎn)，DE、D F分別垂直于兩腰AB和AC，沿DE和DF將△BDE和△CDF折起，恰好使得BD和CD重合，設(shè)B、C重 合于B′點(diǎn)，求證：AB′⊥面AEDF.

證明　 因DE⊥AB，

則 DE⊥B′E，AB∩B′E=E.

故 DE⊥面B′EA

又因 B′AB′EA

故 B′A⊥ED

同理，B′A⊥BF，則ED∩DF=D，

所以 B′A⊥面AEDF.

(三)直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理

例3　 直角△ABC的一條邊AB∩α＝A，另一邊BC不在平面α內(nèi)，若∠ABC在 α上的射影仍是直角，求證BC∥α.

證明：如圖，過B、C分別作α的垂線，垂足分別為B′、C′，則∠AB′C′是∠ABC在α上的射影.

∴∠AB′C′＝90°

又∵BB′⊥α，AB′α，B′C′α，

∴AB′⊥BB′，C′B′⊥BB′.

∵B′A∩BB′＝B′，

∴C′B′⊥平面AB′B.

∵B′C′∩B′B＝B′，

∴AB′⊥平面BB′C′C.

∵BC面BB′C′C，

∴BC⊥AB′.

∵∠ABC＝90°，AB∩AB′＝A，

∴BC⊥平面ABB′.

∴BC∥B′C′.

∴BC∥α.

(二)異面直線，兩直線的位置關(guān)系，證明兩直線異面、平行的一般方法

例2　 已知如圖，a∥α,a∥β,α∥β,α∩β=b.求證：a∥b.

證明： 在α上任取一點(diǎn)A(Ab)，則a與點(diǎn)A確定了一個(gè)平面γ，γ∩α=c

因 a∥α,a?α,cα,

所以 a∥α,a?α,cα,

故 a∥c

同理，在β上任取一點(diǎn)B(Bb)，a與B確定了平面δ，δ∩β＝d，有a∥d

因 a∥c∥d,

則 cβ,dβ,

故 c∥β

又因 α∩β=b，

所以 c∥b,a∥b.

(一)平面的基本性質(zhì)，證明直線共面的基本方

例1　 如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，E、F、G、H分別是棱AB、BC、CC₁、C₁D₁的中點(diǎn).

求證：HG、EF、DC交于一點(diǎn).

證明：∵E、F、G、H是正方體的棱AB、BC、CC₁、C₁D₁的中點(diǎn)，

∴直線EF面ABCD　 直線HG面CC₁D₁D，且直線EFCD，EFCD.

∴EF與CD、HG與CD必分別相交.

設(shè)EF∩CD于P，HG∩CD于P′，

由平幾知識有△EBF≌△PCF，△P′GC≌△HC₁G.

∴PC＝BE＝AB，P′C＝C₁H＝C₁D₁

而正方體中AB＝C₁D₁

∴PC＝P′C，即P與P′重合.

∴HG、EF、DC交于一點(diǎn).

16.異面直線的距離

(1)定義　 與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線.兩條異面直線的公 垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離.

任何兩條確定的異面直線都存在唯一的公垂線段.

(2)求兩條異面直線的距離常用的方法

①定義法　 根據(jù)題目所給的條件，找出(或作出)兩條異面直線的公垂線段，再根據(jù)有關(guān)定 理、性質(zhì)求出公垂線段的長.

此法一般多用于兩異面直線互相垂直的情形.

②轉(zhuǎn)化法　 轉(zhuǎn)化為以下兩種形式：線面距離　 面面距離

③等體積法

④最值法

⑤射影法

⑥公式法

15.平行平面的距離

(1)定義　 和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線.公垂線夾在兩個(gè) 平行平面間的部分，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線段.兩個(gè)平行平面的公垂線段的長度叫做 這兩個(gè)平行平面的距離.

(2)求平行平面距離常用的方法

①直接利用定義求證(或連或作)某線段為距離，然后通過解三角形計(jì)算之.

②把面面平行距離轉(zhuǎn)化為線面平行距離，再轉(zhuǎn)化為線線平行距離，最后轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線(面)距 離，通過解三角形或體積法求解之.

14.直線和平面的距離

(1)定義　 一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和 平面的距離.

(2)求線面距離常用的方法

①直接利用定義求證(或連或作)某線段為距離，然后通過解三角形計(jì)算之.

②將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，然后運(yùn)用解三角形或體積法求解之.

③作輔助垂直平面，把求線面距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)線距離.