題目列表(包括答案和解析)

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2.若f[g(x)] = 9x+3,且g(x) = 3x+1,則f(x)的解析式為          (  )

  A.3x   B.3   C.9(3x+1) +1   D.3(9x+3) +1

試題詳情

1.函數(shù)的定義域為                  (  )

A.[0, ]   B.[0,3]   C.[-3,0]   D.(0,3)

試題詳情

2.求函數(shù)的定義域,主要涉及以下幾個方面:

    ①分式的分母不為零;②對數(shù)函數(shù)的真數(shù)都必須大于零,底數(shù)必須大于零且不為1;③偶次方根的被開方數(shù)非負;④零次冪的底數(shù)不為零,等.

    對于實際問題,還應注意變量的實際意義或物理意義.

    復合函數(shù)的定義域是使各部分都有意義的自變量取值范圍的交集.

[訓練反饋]

試題詳情

1.求函數(shù)的解析式的方法通常有待定系數(shù)法、配方法、換元法,有時還要用到方程的思想.

試題詳情

0.1x-125=75,

    解得  x=2000.

    答:該職員的該月工資、薪金收入為2000元.

    點評  (1)函數(shù)的表示法有:解析法、列表法、圖象法;而解析式中包含一類重要的函數(shù)--分段函數(shù):對應于自變量x的不同取值范圍,對應關系也不同.分段函數(shù)不管x被分成了幾段,它仍是一個函數(shù),而不是幾個函數(shù),它由幾個部分構成了一個函數(shù);

(2)寫函數(shù)解析式時,不要忘了寫上函數(shù)的定義域;對于實際問題,還不要忘了問題的實際意義.

變題  在原題的條件下,若設某人一月份應繳納此項稅款26.78元,則他當月工資總收入介于                          ( D )

    A.500~600元   B.900~1200元  C.1200~1500元  D.1500~1800元

例4  (1)設f(x)是一次函數(shù),且f[f(x)]=4x+3,求f(x).

    (2)設,求f(x+1).

    (3)若f(x)滿足f(x)+2f()=x,求f(x).

    分析  (1)已知了函數(shù)f(x)的類型,可采用待定系數(shù)法;

(2)視()為整體,采用換元法或配方法可求得f(x)的解析式,再用(x+1)整體代換f(x)中的x,即可求出f(x+1)的解析式;

(3)注意到x互為倒數(shù),可通過倒數(shù)代換聯(lián)立方程組解出f(x).

    解  (1)設f(x)=ax+b(a≠0),則f[f(x)]=af(x)+b=a (ax+b)+b=a2x+ab+b,

    ∴ ,∴ f(x)=2x+1或f(x)= -2x-3.

    (2)解法一  ∵ ,∴ f(x)=x2-1 (x≥1),

f(x+1)= (x+1)2-1 = x2+2x (x≥0).

解法二  令t=,則= t-1,∴f(t)= (t-1)2+2(t-1)= t2-1.

t=≥1,∴ f(x)=x2-1 (x≥1),從而f(x+1)= x2+2x (x≥0).

(3)在f(x)+2f()=x ①中,用代換xf()+2 f(x)= 、冢

聯(lián)立①、②解得 

點評  (1)正確理解函數(shù)的概念,是求抽象函數(shù)解析式的關鍵;

(2)求抽象函數(shù)的解析式常用配湊法(如題(2)的解法一)、換元法(如題(2)的解法二)、待定系數(shù)法(如題(1)的解答)以及取倒相消法(如題(3)的解答)等;

(3)在用換元法或配湊法求解析式時,應注意中間變量的取值范圍,以確定函數(shù)f(x)的定義域.在題(2)中,由f(x)的定義域是{xx≥1},則在f(x+1)中必須x+1≥1,即x≥0,從而f(x+1)的定義域是{xx≥0}.

    變題  已知f(x)是定義在R上的函數(shù),且f(1)=1,對任意x∈R都有下列兩式成立:

    (1)f(x+5)≥f(x)+5;

(2)f(x+1)≤f(x)+1.

g(x)=f(x)+1-x,求g(6)的值.

提示:反復利用條件(2),有

f(x+5) ≤f(x+4)+1≤f(x+3)+2≤f(x+2)+3≤f(x+1)+4≤f(x)+5,(★)

結合條件(1)得  f(x+5)=f(x)+5.

于是,由(★),可得  f(x+1) = f(x)+1.

    故  g(6)=f(6)+1-6= [f(1)+5 ]-5=1.

    注意:數(shù)列{f(n)}(n∈N*)構成公差是1的等差數(shù)列.

[知能集成]

試題詳情

5.已知函數(shù)f(x) = lg的定義域為A,函數(shù)g(x)=lg(1+x) – lg(1-x)的定義域為B,則下述關于A、B關系不正確的為                  (  )

   A.AÊB   B.AB=B   C.AB=B   D.B(≠A

[講練平臺]

例1  求函數(shù)的定義域.

分析  根據有關條件列出不等式組,再求出不等式組的解集即為所求函數(shù)的定義域.

解  由函數(shù)解析式有意義,得

    Þ0<x<1或1<x≤2,或x≥3.

故函數(shù)的定義域是

    點評  (1)求以解析式給出的函數(shù)定義域時,應遵循以下幾條原則:①分式的分母不為零;②偶次根號下被開方數(shù)非負;③在a°中底數(shù)a≠0;④若f(x)是由幾個部分構成的,則應采用交集法;⑤實際問題結合變量的實際意義來確定,等等;

(2)求不等式組的解集,通常借助數(shù)軸的直觀性;

(3)函數(shù)的定義域一般應用集合或區(qū)間形式表示,在用區(qū)間表示時,要弄清區(qū)間端點的歸屬,正確使用開區(qū)間和閉區(qū)間符號,需特別注意的是,“∞”不是一個確定的數(shù),而是一個變化趨勢,只能用開區(qū)間;

(4)必須把所有的限制條件都列出來,特別是在中,x-1≠0,不能遺漏.

    例2  若函數(shù) y=lg(x2+ax+1)的定義域為R,求實數(shù)a的取值范圍.

分析  由函數(shù) y=lg(x2+ax+1)的定義域為R知:x2+ax+1>0對x∈R恒成立,而f(x)= x2+ax+1為二次函數(shù),函數(shù)值恒正,故可利用“△”法求解.

解  因函數(shù) y=lg(x2+ax+1)的定義域為R,故x2+ax+1>0對x∈R恒成立,而f(x)= x2+ax+1是開口向上的拋物線,從而△<0,即a2-4<0,解得 -2<a<2,它便是所求的a的取值范圍.

點評    (1)“△”法可判斷一元二次函數(shù)值恒正、恒負或非正、非負;

(2)必須注意所用△的值是大于零、小于零、還是不大于零、不小于零.如下面的問題:關于x的不等式x2+ax+1<0的解集為,試求實數(shù)a的取值范圍.問題便等價于x2+ax+1≥0的解集為R,從而有△≤0,解得 –2≤a≤2.

變題1  已知函數(shù) y=lg(x2+ax+1)的值域為R,求a的取值范圍.

提示:利用△≥0Þ a≥2或a≤-2.

變題2  已知函數(shù) y=lg(ax2+ax+1)的定義域為R,求a的取值范圍.

提示:分a>0與a=0的兩種情況求解,其答案為0≤a<4.

思考:變題1、變題2及原題,它們的區(qū)別何在?

例3  《中華人民共和國個人所得稅法》第十四條中有下表:

個人所得稅稅率表一(工資、薪金所得適用)

級別
全月應納稅所得額
稅率(%)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
不超過500元部分
超過500元至2000元部分
超過2000元至5000元部分
超過5000元至20000元部分
超過20000元至40000元部分
超過40000元至60000元部分
超過60000元至80000元部分
超過80000元至10000元部分
超過100000元部分
5
10
15
20
25
30
35
40
45

表中“全月應納稅所得額”是從月工資、薪金收入中減去1000元后的余額.例如某人月工資、薪金收入1220元,減除1000元,應納稅所得額就是220元,應繳納個人所得稅11元.

(1)請寫出月工資、薪金的個人所得y關于收入額x(0<x≤3000)的函數(shù)表達式;

(2)一公司職員某月繳納個人所得稅75元,問他該月工資、薪金的收入多少?

    分析  先讀懂題意,正確理解“全月應納稅所得額”等的意義,然后利用分段函數(shù)法列出個人所得y關于收入額x的函數(shù)關系式,利用該關系式繼續(xù)求解其它的問題.

解  (1)當0<x≤1000時,y=x;

當1000<x≤1500時,扣稅: (x-1000) ·5%,從而所得為

y=x- (x-1000) ·5% = 0.95x+50;

當1500<x≤3000時,扣稅: (x-1500)·10%+500 ·5% = 0.1x-125,從而所得為

y= x-(0.1x-125) =0.9x+125.

    故 y =

    (2)顯然,該職員的工資、薪金x滿足1500<x≤3000,故由

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4.若f(x-1)=2x+5,則f(x2) =                      (  )

  A.2x2+3   B.2x2+7   C.+3   D.+7

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3.已知函數(shù)f(x) = 當f(x) = 33時,x =     

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2.下列函數(shù):①y=2x+5;②y= ;③y= ;④y =

其中定義域為R的函數(shù)共有m個,則m的值為            (  )

      A.1  B.2   C.3   D.4

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1.已知,則f{f[f(-1)]}=      

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