2. 利用奇偶性

　　 例4　 已知函數(shù)f(x)=ax⁵+bsinx+3,且f(-3)=7,求f(3)的值.

　　 分析　 f(x)的解析式含有兩個(gè)參數(shù)a、b,卻只有一個(gè)條件f(-3)=7,無法確定a、b的值,因此f(x)仍是抽象函數(shù),但我們注意到g(x)=ax⁵+bsinx是奇函數(shù),有g(shù)(-3)=-g(3).

　 　解　 設(shè)g(x)=ax⁵+bsinx,顯然g(x)是奇函數(shù),

　 　　 ∵ f(-3)=7,

　　 ∴ f(-3)=g(-3)+3=-g(3)+3=7　 g(3)=-4,

　　 ∴ f(3)=g(3)+3=-4+3=-1.

　　 函數(shù)的特征是通過函數(shù)的性質(zhì)反映出來的,抽象函數(shù)也不例外,只有充分利用題設(shè)條件所表明的函數(shù)的性質(zhì),靈活進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,抽象函數(shù)問題才能峰回路

轉(zhuǎn)、化難為易.

1. 利用單調(diào)性

　 　例3　 設(shè)f(x)是定義在(0,+∞)上的增函數(shù),滿足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,解不等式f(x)+f(x-8)≤2.

　　 解　 ∵ 函數(shù)f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,

　　 ∴ 2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),

　　 由f(x)+f(x-8)≤2,得 f[x(x-8)]≤f(9),

　　 ∵ 函數(shù)f(x)是定義在(0,+∞)上的增函數(shù),

　　 則

　　 ∴ 不等式解集為 {x|8<x≤9}.

　　 有些抽象函數(shù)問題,用常規(guī)解法很難解決,但與具體函數(shù)“對(duì)號(hào)入座”后,問題容易迎刃而解.這種方法多用于解填空題、選擇題、解答題的解題后的檢驗(yàn),但解答題的解答書寫過程一般不能用此法.

　　 例1 　若函數(shù)f(x)與g(x)在R上有定義,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),

f(-2)=f(1)≠0,則g(1)+g(-1)=　　 .

　　 解　 因?yàn)?f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y), 這是兩角差的正弦公式模型,

　 　又f(-2)=f(1)≠0,

　　 則可取

　　 于是 f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　例2　 設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的減函數(shù),且滿足f(x+y)=f(x)f(y),

f(-3)=8,則不等式f(x)f(x-2)<　　　 的解集為　　　　　 .

　　 解　 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)f(y),這是指數(shù)函數(shù)模型,

　 　 　 　　 又 f(-3)=8,

　　 則可取

　　 ∵f(x)f(x-2)<　　

∴＜, 即＜，

∴ 2x-2 >8, 　解不等式,得　 x>5,

　　 ∴ 不等式的解集為　 {x|x>5}.

8.(★★★★★)The old man was once________ sing the song.

　　 A.listened to B.listening to

　　 C.listened to to D.listen to

7.(★★★★)-Have you anything________ there.

　　 -No.Thank you just the same.

　　 A.should be taken B.to be taken

　　 C.to take D.which should be taken

6.(★★★★★)Every minute is made full________ of________ our lessons well.

　　 A.to use;study B.use;studying

　　 C.use;to study D.used;studying

5.(★★★★★)The way they talked________ the problem seemed impossible.

　　 A.about settling B.to settle

　　 C.of settling D.about to settle

4.(★★★★★)Tom did whatever he could________ those who were in trouble.

　　 A.to help B.help C.helping D.do help

3.(★★★★)They had nothing else to do but________ a doctor.

　　 A.call for B.to send C.to call on D.send for

2.(★★★★)I lost my way in complete darkness and,________ matters worse,it began to rain.

　　 A.made B.having made C.making D.to make