4．這當(dāng)中有時(shí)要用到機(jī)械能守恒或能量守恒定律，可根據(jù)具體情況列出關(guān)系式．

3．對(duì)系統(tǒng)中的物體受力分析，找出外力總功與物體始末動(dòng)能，從而應(yīng)用動(dòng)能定理列關(guān)系式．

2．對(duì)系統(tǒng)分析，看是否動(dòng)量守恒(有時(shí)是某一方向動(dòng)量守恒)，再根據(jù)動(dòng)量守恒定律列方程．

1．選出要研究的系統(tǒng)．

2.靈活應(yīng)用動(dòng)量、能量關(guān)系．有的題目可能動(dòng)量守恒，機(jī)械能不守恒，或機(jī)械能守恒，動(dòng)量不守恒，或者動(dòng)量在整個(gè)變化過(guò)程中守恒，而機(jī)械能在某一個(gè)過(guò)程中有損失等，過(guò)程的選取要靈活，既要熟悉一定的典型題，又不能死套題型、公式．

[例1]如圖所示，A和B并排放在光滑的水平面上，A上有一光滑的半徑為R的半圓軌道，半圓軌道右側(cè)頂點(diǎn)有一小物體C，C由頂點(diǎn)自由滑下，設(shè)A、B、C的質(zhì)量均為m．求：

(1)A、B分離時(shí)B的速度多大？

(2)C由頂點(diǎn)滑下到沿軌道上升至最高點(diǎn)的過(guò)程中做的功是多少？

　分析：小物體C自由滑下時(shí)，對(duì)槽有斜向右下方的作用力，使A、B一起向右做加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)C滑至槽的最低點(diǎn)時(shí)，C、A之間的作用力沿豎直方向，這就是A、B分離的臨界點(diǎn)，因C將沿槽上滑，C對(duì)A有斜向左下方的作用力，使A向右做減速運(yùn)動(dòng)，而B(niǎo)以A分離時(shí)的速度向右做勻速運(yùn)動(dòng)，C沿軌道上升到最大高度時(shí)，C與A的相對(duì)速度為零，而不是C對(duì)地的速度為零，至于C在全過(guò)程中所做的功，應(yīng)等于A、B、C組成的系統(tǒng)動(dòng)能的增加(實(shí)際上是等于C的重力所做的功)。

　　 解析：對(duì)A、B、C組成的系統(tǒng)，它們?cè)谒�平向上所受外力零，系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒，則　　 2mv_AB+mv_C＝0 ………①

　　 又系統(tǒng)內(nèi)僅有重力彈力做功，機(jī)械能守恒，有mgR=½(2m)v_AB²+½mv_c²………②

聯(lián)立①②解得v_AB＝，v_C=－2，即分離時(shí)B的速度為．

　　 (2)當(dāng)C上升到最高點(diǎn)時(shí)，C與A有共同速度v_AB，對(duì)A、B、C系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律，mv_AB+mv_C＝2mv_AC

　　 解之得v_AC=－．

　　 所以W=½mv_AB²+½2mv_c²＝½m()²+½×2m()²＝mgR．

　　 點(diǎn)評(píng)：本題把動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律巧妙地結(jié)合一起，考查對(duì)物理過(guò)程分析和描述的能力，關(guān)鍵是能清晰地將整個(gè)物理過(guò)程劃分兩個(gè)階段，應(yīng)用于恒定律來(lái)解。

規(guī)律方法一、特點(diǎn)

　　 能量與動(dòng)量結(jié)合的題目，過(guò)程復(fù)雜，知識(shí)綜合性強(qiáng)，難度比較大；它不僅在力學(xué)中出現(xiàn)，在電學(xué)與原子核物理學(xué)中也都有類(lèi)似的題目．因而在高考中那些難度大的題目往往出現(xiàn)在這里．

　　 處理力學(xué)問(wèn)題的基本方法有三種：一是牛頓定律，二是動(dòng)量關(guān)系，三是能量關(guān)系．若考查有關(guān)物理量的瞬時(shí)對(duì)應(yīng)關(guān)系，須應(yīng)用牛頓定律，若考查一個(gè)過(guò)程，三種方法都有可能，但方法不同，處理問(wèn)題的難易、繁簡(jiǎn)程度可能有很大的差別．若研究對(duì)象為一個(gè)系統(tǒng)，應(yīng)優(yōu)先考慮兩大守恒定律，若研究對(duì)象為單一物體，可優(yōu)先考慮兩個(gè)定理，特別涉及時(shí)間問(wèn)題時(shí)應(yīng)優(yōu)先考慮動(dòng)量定理，涉及功和位移問(wèn)題的應(yīng)優(yōu)先考慮動(dòng)能定理．因?yàn)閮蓚�(gè)守恒定律和兩個(gè)定理只考查一個(gè)物理過(guò)程的始末兩個(gè)狀態(tài)有關(guān)物理量間關(guān)系，對(duì)過(guò)程的細(xì)節(jié)不予細(xì)究，這正是它們的方便之處．特別對(duì)于變力作用問(wèn)題，在中學(xué)階段無(wú)法用牛頓定律處理時(shí)，就更顯示出它們的優(yōu)越性．

　　 動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律所研究的對(duì)象都是相互作用的物體組成的系統(tǒng)，且研究的都是某一物理過(guò)程一但兩者守恒的條件不同：系統(tǒng)動(dòng)量是否守恒，決定于系統(tǒng)所受合外力是否為零；而機(jī)械能是否守恒，則決定于是否有重力以外的力(不管是內(nèi)力還是外力)做功．所以，在利用機(jī)械能守恒定律處理問(wèn)題時(shí)要著重分析力的做功情況，看是否有重力以外的力做功；在利用動(dòng)量守恒定律處理問(wèn)題時(shí)著重分析系統(tǒng)的受力情況(不管是否做功)，并著重分析是否滿足合外力為零．應(yīng)特別注意：系統(tǒng)動(dòng)量守恒時(shí)，機(jī)械能不一定守恒；同樣機(jī)械能守恒時(shí)，動(dòng)量不一定守恒，這是因?yàn)閮蓚�(gè)守恒定律的守恒條件不同必然導(dǎo)致的結(jié)果．如各種爆炸、碰撞、反沖現(xiàn)象中，因F_內(nèi)》F_外，動(dòng)量都是守恒的，但因很多情況下有內(nèi)力做功使其他形式的能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能而使其機(jī)械能不守恒．

另外，動(dòng)量守恒定律表示成為矢量式，應(yīng)用時(shí)必須注意方向，且可在某一方向獨(dú)立使用；機(jī)械能守恒定律表示成為標(biāo)量式，對(duì)功或能量只需代數(shù)加減，不能按矢量法則進(jìn)行分解或合成．

3．彈性碰撞

題目中出現(xiàn)：“碰撞過(guò)程中機(jī)械能不損失”．這實(shí)際就是彈性碰撞． 設(shè)兩小球質(zhì)量分別為m₁、m₂，碰撞前后速度為v₁、v₂、v₁^/、v₂^/，碰撞過(guò)程無(wú)機(jī)械能損失，求碰后二者的速度．

　　 根據(jù)動(dòng)量守恒　　 m₁ v₁+m₂ v₂＝m₁ v₁^/+m₂ v₂^/ ……①

　　 根據(jù)機(jī)械能守恒　　 ½m₁ v₁²十½m₂v₂²= ½m₁ v₁^/2十½m₂ v₂^/2 ……②

　　 由①②得v₁^/= ，v₂^/=

　　 仔細(xì)觀察v₁^/、v₂^/結(jié)果很容易記憶,　　 當(dāng)v₂=0時(shí)v₁^/= ，v₂^/=

　　 ①當(dāng)v₂=0時(shí)；m₁=m₂ 　時(shí)v₁^/=0，v₂^/=v₁　　 這就是我們經(jīng)常說(shuō)的交換速度、動(dòng)量和能量．

②m₁＞＞m₂，v^/₁=v₁，v₂^/=2v₁．碰后m₁幾乎未變，仍按原來(lái)速度運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量小的物體將以m₁的速度的兩倍向前運(yùn)動(dòng)。

③m₁《m₂，v^/_l=一v₁，v₂^/=0．　　 碰后m₁被按原來(lái)速率彈回，m₂幾乎未動(dòng)。

[例1]試說(shuō)明完全非彈性碰撞中機(jī)械能損失最多．

解析：前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)，碰后二者一起以共同速度運(yùn)動(dòng)的碰撞為完全非彈性碰撞．

設(shè)兩物體質(zhì)量分別為m₁、m₂，速度碰前v₁、v₂，碰后v₁^/、v₂^/

由動(dòng)量守恒：m₁v₁+m₂v₂＝m₁v₁^/十m₂v₂^/……①

損失機(jī)械能：Q=½m₁v₁²+½m₂v₂²－½ m₁ v₁^/2－½ m₂ v₂^/2 ……②

由①得　 m₁v₁+m₂v₁－m₂v₁+m₂v₂＝m₁v₁^/十m₂v₁^/－m₂v₁^/+m₂v₂^/　

寫(xiě)成(m₁+m₂)v₁－m₂(v₁－v₂)＝(m₁十m₂)v₁^/－m₂(v₁^/－v₂^/)

即(m₁+m₂)(v₁ －v₁^/)= m₂[(v₁－v₂)－(v₁^/－v₂^/)]

于是(v₁ －v₁^/)= m₂[(v₁－v₂)－(v₁^/－v₂^/)]/ (m₁+m₂)

同理由①得m₁v₁+m₁v₂－m₁v₂+m₂v₂＝m₁v₁^/十m₁v₂^/－m₁v₂^/+m₂v₂^/

寫(xiě)成(m₁+m₂)v₂+m₁(v₁－v₂)＝(m₁十m₂)v₂^/+m₁(v₁^/－v₂^/)

(m₁+m₂)(v₂ －v₂^/)= m₁[(v₁^/－v₂^/)－(v₁－v₂)]

(v₂ －v₂^/)= m₁[(v₁^/－v₂^/)－(v₁－v₂)]/ (m₁+m₂)

代入②得Q=½m₁v₁²+½m₂v₂²－½ m₁v₁^/2－½ m₂v₂^/2=½m₁(v₁²－v₁^/2)+½m₂(v₂²－v₂^/2)

=½m₁(v₁－v₁^/) (v₁+v₁^/)+½m₂(v₂－v₂^/)(v₂+v₂^/)

=½m₁(v₁+v₁^/) m₂[(v₁－v₂)－(v₁^/－v₂^/)]/(m₁+m₂)+½m₂(v₂+v₂^/)m₁[(v₁^/－v₂^/)－(v₁－v₂)]/(m₁+m₂)

=[½m₁ m₂/(m₁+m₂)][ v₁²－v₁v₂+v₁v₁^/－v₂v₁^/－v₁v₁^/+v₁v₂^/－v₁^/2+v₁^/v₂^/+v₂v₁^/－v₂v₂^/－v₁v₂+v₂²+v₁^/v₂^/－v₂^/2－v₁v₂^/+v₂v₂^/]=[½m₁ m₂/(m₁+m₂)][ v₁²－v₁v₂－v₁v₂+v₂²－v₁^/2+v₁^/v₂^/+v₁^/v₂^/－v₂^/2]= [½m₁ m₂/(m₁+m₂)][(v₁－v₂)²－(v₁^/－v₂^/)²]……③由③式可以看出:當(dāng)v₁^/= v₂^/時(shí)，損失的機(jī)械能最多．

規(guī)律方法

[例2]如圖所示，一輕質(zhì)彈簧兩端各連接一質(zhì)量均為m的滑塊A和B，兩滑塊都置于光滑水平面上．今有質(zhì)量為m/4的子彈以水平速度V射入A中不再穿出，試分析滑塊B何時(shí)具有最大動(dòng)能．其值為多少？

解析：對(duì)子彈和滑決A根據(jù)動(dòng)量守恒定律　　　 mv/4=5mv^//4所以v^/=v/5。

　　 當(dāng)彈簧被壓縮后又恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，B的速度最大，具有的動(dòng)能也最大，此過(guò)程動(dòng)能與動(dòng)量都守恒

　　 由①②得：v_B=2v/9　　 所以 B的動(dòng)能為E_kB=2mv²/81

答案：彈簧被壓縮又恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)；E_kB=2mv²/81

[例3]甲物體以動(dòng)量P₁與靜止在光滑水平面上的乙物體對(duì)心正碰，碰后乙物體的動(dòng)量為P₂，則P₂和P₁的關(guān)系可能是(　　 )

　　 A．P₂＜P₁；　 B、P₂= P₁　　 C． P₂＞P₁；　 D．以上答案都有可能

　　 解析：此題隱含著碰撞的多種過(guò)程．若甲擊穿乙物體或甲、乙兩物體粘在一起勻速前進(jìn)時(shí)有P₂＜P₁；若甲乙速度交換時(shí)有P₂= P₁；若甲被彈回時(shí)有P₂＞P₁；故四個(gè)答案都是可能的．而后三個(gè)答案往往漏選

　　 答案：ABCD

[例4]如圖所示，在支架的圓孔上放著一個(gè)質(zhì)量為M的木球，一質(zhì)量為m的子彈以速度v₀從下面豎直向上擊中子彈并穿出，使木球向上跳起高度為h，求子彈穿過(guò)木球后上升的高度。

　 [解析]把木球和子彈作為一個(gè)系統(tǒng)研究，在子彈和木球相互作用時(shí)間內(nèi)，木球和子彈要受到重力作用，顯然不符合動(dòng)量守恒的條件。但由于子彈和木球間的作用力(內(nèi)力)遠(yuǎn)大于它們的重力(外力)，可以忽略重力作用而認(rèn)為系統(tǒng)動(dòng)量守恒。

　　 設(shè)子彈剛穿過(guò)木球時(shí)，子彈的速度為v₁，木球的速度為v₂，豎直向上為正方向。

　　 對(duì)系統(tǒng)，據(jù)動(dòng)量守恒：mv=mv₁+Mv₂……①

木球獲得速度v₂后，上升的過(guò)程機(jī)械能守恒：½Mv₂²=Mgh……②

兩式聯(lián)立得

子彈射穿木球后的上升過(guò)程機(jī)械能守恒：½mv₁²=mgH，將v₁代入得子彈上升的最大高度：

[例5]有兩塊大小不同的圓形薄板(厚度不計(jì))質(zhì)量分別為M和m，半徑分別為R和r，兩板之間用一根長(zhǎng)為0．4m的輕繩相連結(jié)．開(kāi)始時(shí)，兩板水平放置并疊合在一起，靜止于高度為0．2m處如圖(a)所示．然后自由下落到一固定支架C上，支架上有一半徑為R^/(r＜R^/＜R＝的圓孔，圓孔與兩薄板中心在圓板中心軸線上，木板與支架發(fā)生沒(méi)有機(jī)械能損失的碰撞，碰撞后，兩板即分離，直到輕繩繃緊．在輕繩繃緊瞬間，兩物體具有共同速度V，如圖4一22(b)所示．問(wèn)：　　

(l)若M=m，則v值為多大．

　　 (2)若M/m=k，試討論v的方向與k值間的關(guān)系．

解析：M、m與固定支架碰撞前的自由下落，所以v₀²=2gh　 v₀==2 m／s

碰撞后，M原速返回向上作初達(dá)v₀的勻減速運(yùn)動(dòng)，m作初速為v₀向下勻加速運(yùn)動(dòng)．

設(shè)繩剛要繃直時(shí)，M的速度為v₁，上升的高度為h₁，m的速度為v₂，下降的高度為h₂，經(jīng)歷時(shí)間為t，則：

v₁＝v₀一gt　 …………①　　 v₁²＝v₀²一2g h₁ ……②　　 v₂＝v₀+gt………③　　

v₂²＝v₀²一2g h₂ …………④　　 又h_l+h₂=0．4…………⑤

　　 由上五式解得：v₂=3 m/s，　　 v₁=1m/s

在繩繃緊瞬間，時(shí)間極短，重力的沖量忽略不計(jì)，則M與m組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒．設(shè)向下為正．則

　mv₂－Mv₁=(M+m)v，　　 即 v=　　

　　 (1)當(dāng)M＝m時(shí)，v＝1m/s　　 (2)當(dāng)M/m＝k時(shí)．V=

　討論：k＜3時(shí)，v＞0兩板向下運(yùn)動(dòng)，　 k＞3時(shí)，v＜0 兩板向上運(yùn)動(dòng)，　 k＝3時(shí)，v＝0兩板瞬時(shí)靜止

[例6]如圖所示，一輛質(zhì)量M=2 kg的平板車(chē)左端放有質(zhì)量m=3 kg的小滑塊，滑塊與平板車(chē)之間的動(dòng)摩擦因數(shù)µ=0.4，開(kāi)始時(shí)平板車(chē)和滑塊共同以v₀=2m/s的速度在光滑水平面上向右運(yùn)動(dòng)，并與豎直墻壁發(fā)生碰撞，設(shè)碰撞時(shí)間極短且碰撞后平板車(chē)速度大小保持不變，但方向與原來(lái)相反．平板車(chē)足夠長(zhǎng)，以至滑塊不會(huì)滑到平板車(chē)右端．(取g＝10 m/s²)求：

(1)平板車(chē)第一次與墻壁碰撞后向左運(yùn)動(dòng)的最大距離；

　(2)平板車(chē)第二次與墻壁碰撞前瞬間的速度v₂；

　(3)若滑塊始終不會(huì)滑到平板車(chē)右端，平板車(chē)至少多長(zhǎng)．

解析:平板車(chē)第一次與豎直墻壁發(fā)生碰撞后速度大小保持不變，但方向與原來(lái)相反．在此過(guò)程中，由于時(shí)間極短，故滑塊m的速度與其在車(chē)上的位置均未發(fā)生變化．此外，由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)，滑塊m和平板車(chē)間將產(chǎn)生摩擦力，兩者均做勻減速運(yùn)動(dòng)，由于平板車(chē)質(zhì)量小，故其速度減為0時(shí)，滑塊m仍具有向右的不為0的速度，此時(shí)起，滑塊m繼續(xù)減速，而平板車(chē)反向加速一段時(shí)間后，滑塊M和平板車(chē)將達(dá)到共同速度，

一起向右運(yùn)動(dòng)，與豎直墻壁發(fā)生第二次碰撞……

(1)設(shè)平板車(chē)第一次碰墻壁后，向左移動(dòng)s，速度減為0.(由于系統(tǒng)總動(dòng)量向右，平板車(chē)速度為0時(shí)，滑塊還具有向右的速度)．

　　 根據(jù)動(dòng)能定理有：一½µmgs₁=0一½Mv₀²

代入數(shù)據(jù)得：

(2)假如平板車(chē)在第二次碰墻前還未和滑塊相對(duì)靜止，那么其速度的大小肯定還是2 m/s，滑塊的速度則大于2 m/s，方向均向右，這顯然不符合動(dòng)量守恒定律．所以平板車(chē)在第二次碰墻前肯定已和滑塊具有共同速度v₂.此即平板車(chē)碰墻瞬間的速度mv₀一Mv₀＝(M+m)v₂，

(3)平板車(chē)與墻壁第一次碰撞后到滑塊與平板車(chē)又達(dá)到共同速度v前的過(guò)程，可用圖(a) (b) (c)表示．圖(a)為平板車(chē)與墻碰撞后瞬間滑塊與平板車(chē)的位置，圖(b)為平板車(chē)到達(dá)最左端時(shí)兩者的位置，圖(c)為平板車(chē)與滑塊再次達(dá)到共同速度時(shí)兩者的位置．在此過(guò)程中滑塊動(dòng)能減少等于摩擦力對(duì)滑塊所做功µmgs^/，平板車(chē)動(dòng)能減少等于摩擦力對(duì)平板車(chē)所做功µmgs^//(平板車(chē)從B到A再回到B的過(guò)程中摩擦力做功為0)，其中s' ,s"分別為滑塊和平板車(chē)的位移．滑塊和平板車(chē)動(dòng)能總減少為µmgL，其中L＝s^/+s^//為滑塊相對(duì)平板車(chē)的位移．此后，平板車(chē)與墻壁發(fā)生多次碰撞，每次情況與此類(lèi)似，最后停在墻邊．設(shè)滑塊相對(duì)平板車(chē)總位移為L(zhǎng),則有：½(M+m)v₀²=µmgL,

L即為平板車(chē)的最短長(zhǎng)度．

動(dòng)量、能量綜合應(yīng)用

知識(shí)簡(jiǎn)析　 　一、動(dòng)量和動(dòng)能

　　 動(dòng)量和動(dòng)能都是描述物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量，但它們存在明顯的不同：

　　 動(dòng)量是矢量，動(dòng)能是標(biāo)量．物體動(dòng)量變化時(shí)，動(dòng)能不一定變化；但動(dòng)能一旦發(fā)生變化，動(dòng)量必發(fā)生變化．如做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，動(dòng)量不斷變化而動(dòng)能保持不變．

　　 動(dòng)量是力對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)，動(dòng)量的大小反映物體可以克服一定阻力運(yùn)動(dòng)多久，其變化量用所受沖量來(lái)量度；動(dòng)能是力對(duì)空間的積累效應(yīng)，動(dòng)能的大小反映物體可以克服一定阻力運(yùn)動(dòng)多么遠(yuǎn)，其變化量用外力對(duì)物體做的功來(lái)量度．

　　 動(dòng)量的大小與速度成正比，動(dòng)能大小與速率的平方成正比．不同物體動(dòng)能相同時(shí)動(dòng)量可以不同，反之亦然，，常用于比較動(dòng)能相同而質(zhì)量不同物體的動(dòng)量大��；常用來(lái)比較動(dòng)量相同而質(zhì)量不同物體的動(dòng)能大小．

2．一般的碰撞過(guò)程中，系統(tǒng)的總動(dòng)能要有所減少，若總動(dòng)能的損失很小，可以略去不計(jì)，這種碰憧叫做彈性碰撞．其特點(diǎn)是物體在碰撞過(guò)程中發(fā)生的形變完全恢復(fù)，不存在勢(shì)能的儲(chǔ)存，物體系統(tǒng)碰撞前后的總動(dòng)能相等。若兩物體碰后粘合在一起，這種碰撞動(dòng)能損失最多，叫做完全非彈性碰撞．其特點(diǎn)是發(fā)生的形變不恢復(fù)，相碰后兩物體不分開(kāi)，且以同一速度運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能損失顯著。在碰撞的一般情況下系統(tǒng)動(dòng)能都不會(huì)增加(有其他形式的能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能的除外，如爆炸過(guò)程)，這也常是判斷一些結(jié)論是否成立的依據(jù)．