20.(16分)已知定點C(-1，0)及橢圓x²+3y²=5,過點C的動直線與橢圓相交于A，B兩點.

(1)若線段AB中點的橫坐標(biāo)是-，求直線AB的方程；

(2)在x軸上是否存在點M，使·為常數(shù)？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解　 (1)依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1),

將y=k(x+1)代入x²+3y²=5,

消去y整理得(3k²+1)x²+6k²x+3k²-5=0.

設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

由線段AB中點的橫坐標(biāo)是-，

得=-=-,解得k=±，適合①.

所以直線AB的方程為x-y+1=0,或x+y+1=0.

(2)假設(shè)在x軸上存在點M(m，0)，使·為常數(shù).

(ⅰ)當(dāng)直線AB與x軸不垂直時，由(1)知

x₁+x₂=-,x₁x₂=.　　　　　　　　 ③

所以·=(x₁-m)(x₂-m)+y₁y₂

=(x₁-m)(x₂-m)+k²(x₁+1)(x₂+1)

=(k²+1)x₁x₂+(k²-m)(x₁+x₂)+k²+m².

將③代入，整理得

·=+m²

=+m²

=m²+2m--.

注意到·是與k無關(guān)的常數(shù)，從而有

6m+14=0，m=-，此時·=.

(ⅱ)當(dāng)直線AB與x軸垂直時，

此時點A，B的坐標(biāo)分別為

、，

當(dāng)m=-時，亦有·=.

綜上，在x軸上存在定點M，使·為常數(shù).

19.(2008·海南(寧夏)理，20)(16分)在直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C₁: =1 (a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂.F₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點，點M為C₁與C₂在第一象限的交點，且|MF₂|=.

(1)求C₁的方程；

(2)平面上的點N滿足=+，直線l∥MN，且與C₁交于A、B兩點，若·=0，求直線l的方程.

解　 (1)由C₂:y²=4x,知F₂(1,0),

設(shè)M(x₁,y₁),M在C₂上,

因為|MF₂|=,所以x₁+1=,

得x₁=,y₁=.所以M.

M在C₁上,且橢圓C₁的半焦距c=1,

于是

消去b²并整理得9a⁴-37a²+4=0.

解得a=2(a=不合題意,舍去).

故b²=4-1=3.

故橢圓C₁的方程為.

(2)由=+,知四邊形MF₁NF₂是平行四邊形,其中心為坐標(biāo)原點O,

因為l∥MN,所以l與OM的斜率相同.

故l的斜率k==.

設(shè)l的方程為y=(x-m).

由消去y并整理得

9x²-16mx+8m²-4=0.

設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

則x₁+x₂=,x₁x₂=.

因為⊥,所以x₁x₂+y₁y₂=0.

所以x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+6(x₁-m)(x₂-m)

=7x₁x₂-6m(x₁+x₂)+6m²

=7·-6m·+6m²

=(14m²-28)=0.

所以m=±.此時Δ=(16m)²-4×9(8m²-4)＞0.

故所求直線l的方程為y=x-2,或y=x+2.

18.(16分)過點(1，0)的直線l與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點，直線y=x過線段AB的中點，同時橢圓C上存在一點與右焦點關(guān)于直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程.

解　 設(shè)橢圓C的方程為=1(a＞b＞0)，顯然，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)l的方程為y=k(x-1)代入橢圓方程，整理得

(k²a²+b²)x²-2k²a²x+a²k²-a²b²=0.

因為直線l與C交于A、B兩點

∴Δ=4k⁴a⁴-4(a²k²-a²b²)(k²a²+b²)＞0.

即k²a²-k²+b²＞0,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

當(dāng)Δ＞0時，設(shè)直線l與橢圓C的交點為

A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，AB中點為M(x₀,y₀),則

x₀=(x₁+x₂)=

∴y₀=(y₁+y₂)= ［k(x₁-1)+k(x₂-1)］

=-.

∵M(x₀,y₀)在直線y=x上，

∴-=·,

∴k=-.又=1-e²=1-=,

∴k=-=-1.

因此直線l的方程為y=-x+1.

∵a²=2b²，∴橢圓C的方程為=1，其右焦點為(b，0)，設(shè)(b，0)點關(guān)于直線y=-x+1的對稱點為(x′,y′),

則.

因為點(1,1-b)在橢圓上.

∴1+2(1-b)²=2b²，解得b²=.

把b²=,a²=,k²=1代入①式，得Δ＞0.

∴b²=，a²=.

∴橢圓C的方程為=1,

直線l的方程為y=-x+1.

17.(14分)已知雙曲線=1的右焦點是F，右頂點是A,虛軸的上端點是B，·=6-4，∠BAF=150°.

(1)求雙曲線的方程；

(2)設(shè)Q是雙曲線上的點，且過點F、Q的直線l與y軸交于點M，若+2=0，求直線l的斜率.

解　 (1)由條件知A(a,0),B(0,b),F(c,0)

·=(-a, b)·(c-a,0)=a(a-c)=6-4

=-=cos150°=-.

∴a=c,代入a(a-c)=6-4中得c=2.

∴a=,b²=c²-a²=2,故雙曲線的方程為.

(2)∵點F的坐標(biāo)為(2，0).

∴可設(shè)直線l的方程為y=k(x-2),

令x=0，得y=-2k，即M(0,-2k)

設(shè)Q(m,n)，則由+2=0得

(m,n+2k)+2(2-m,-n)=(0,0).

即(4-m,2k-n)=(0,0).

即，∵.

∴=1，得k²=，k=±.

16.(14分)已知方程x²+y²-2x-4y+m=0.

(1)若此方程表示圓，求m的取值范圍；

(2)若(1)中的圓與直線x+2y-4=0相交于M、N兩點，且OM⊥ON(O為坐標(biāo)原點)，求m；

(3)在(2)的條件下，求以MN為直徑的圓的方程.

解　 (1)(x-1)²+(y-2)²=5-m,∴m＜5.

(2)設(shè)M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，

則x₁=4-2y₁，x₂=4-2y₂，

則x₁x₂=16-8(y₁+y₂)+4y₁y₂

∵OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y₂=0

∴16-8(y₁+y₂)+5y₁y₂=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

由

得5y²-16y+m+8=0

∴y₁+y₂=,y₁y₂=,代入①得，m=.

(3)以MN為直徑的圓的方程為

(x-x₁)(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0

即x²+y²-(x₁+x₂)x-(y₁+y₂)y=0

∴所求圓的方程為x²+y²-x-y=0.

15.(14分)過點M(0，1)作直線，使它被直線l₁:x-3y+10=0和l₂:2x+y-8=0所截得的線段恰好被M平分，求此直線方程.

解　 方法一　 過點M且與x軸垂直的直線是y軸，它和兩已知直線的交點分別是和(0,8)，顯然不滿足中點是點

M(0，1)的條件.

故可設(shè)所求直線方程為y=kx+1,與已知兩直線l₁,l₂分別交于A、B兩點，聯(lián)立方程組

　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①解得x_A=,由②解得x_B=.　　　　　　　　　

∵點M平分線段AB，

∴x_A+x_B=2x_M，即+=0.

解得k=-，故所求直線方程為x+4y-4=0.

方法二　 設(shè)所求直線與已知直線l₁,l₂分別交于A、B兩點.

∵點B在直線l₂:2x+y-8=0上，

故可設(shè)B(t,8-2t),M(0,1)是AB的中點.

由中點坐標(biāo)公式得A(-t,2t-6).

∵A點在直線l₁:x-3y+10=0上，

∴(-t)-3(2t-6)+10=0，解得t=4.

∴B(4，0)，A(-4，2)，故所求直線方程為x+4y-4=0.

14.已知兩點A(1，0)，B(b,0)，若拋物線y²=4x上存在點C使△ABC為等邊三角形，則b=　　　　 .

答案　 5或-

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC頂點A(-4，0)和C(4，0)，頂點B在橢圓=1上，則=　　 .

答案　

12.已知F₁、F₂為橢圓=1的兩個焦點，過F₁的直線交橢圓于A、B兩點.若|F₂A|+|F₂B|=12，則|AB|=　　　 .

答案　 8

11.(2009·東海高級中學(xué)高三調(diào)研)兩個正數(shù)m,n的等差中項是5，等比中項是4，若m＞n,則橢圓=1的離心率e的大小為　　　　　 .

答案