2、在復(fù)習解不等式過程中，注意培養(yǎng)、強化與提高函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想和方法，逐步提升數(shù)學素養(yǎng)，提高分析解決綜合問題的能力. 能根椐各類不等式的特點，變形的特殊性，歸納出各類不等式的解法和思路以及具體解法。

1、不等式的證明題題型多變，證明思路多樣，技巧性較強，加之又沒有一勞永逸、放之四海而皆準的程序可循，所以不等式的證明是本章的難點. 攻克難點的關(guān)鍵是熟練掌握不等式的性質(zhì)和基本不等式，并深刻理解和領(lǐng)會不等式證明中的數(shù)學轉(zhuǎn)化思想.

在復(fù)習中應(yīng)掌握證明不等式的常用思想方法：比較思想；綜合思想；分析思想；放縮思想；反證思想；函數(shù)思想；換元思想；導(dǎo)數(shù)思想.

(二)2009年高考預(yù)測

在近年的高考中，不等式的考查有選擇題、填空題、解答題都有，不僅考查不等式的基礎(chǔ)知識，基本技能，基本方法，而且還考查了分析問題、解決問題的能力。解答題以函數(shù)、不等式、數(shù)列導(dǎo)數(shù)相交匯處命題，函數(shù)與不等式相結(jié)合的題多以導(dǎo)數(shù)的處理方式解答，函數(shù)不等式相結(jié)合的題目，多是先以直覺思維方式定方向，以遞推、數(shù)學歸納法等方法解決，具有一定的靈活性。

由上述分析，預(yù)計不等式的性質(zhì)，不等式的解法及重要不等知識將以選擇題或填空的形式出現(xiàn)；解答題可能出現(xiàn)解不等與證不等式。如果是解不等式含參數(shù)的不等式可能性比較大，如果是證明題將是不等式與數(shù)列、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、向量等相結(jié)合的綜合問題，用導(dǎo)數(shù)解答這類問題仍然值得重視。

(一)方法總結(jié)

1．熟練掌握不等式的基本性質(zhì)，常見不等式(如一元二次不等式，絕對值不等式等 )的解法，不等式在實際問題中的應(yīng)，不等式的常用證明方法

2．數(shù)學中有許多相似性，如數(shù)式相似，圖形相似，命題結(jié)論的相似等，利用這些相似性，通過構(gòu)造輔助模型，促進轉(zhuǎn)化，以期不等式得到證明。可以構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量、復(fù)數(shù)和圖形等數(shù)學模型，針對欲證不等式的構(gòu)特點，選擇恰當?shù)哪Ｐ停瑢⒉坏仁絾栴}轉(zhuǎn)化為上述數(shù)學模型問題，順利解決不等式的有關(guān)問題。

考點一：不等關(guān)系與不等式

[內(nèi)容解讀]通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等(組)的現(xiàn)實背景；了解不等式的有關(guān)概念及其分類，掌握不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用。

養(yǎng)成推理必有依據(jù)的良好習慣，不要想當然，不要錯漏不等式性質(zhì)使用的條件，如，中，注意后面大于0的條件，出題者往往就在這里出一些似是而非的題目來迷惑考生．

[命題規(guī)律]高考中，對本節(jié)內(nèi)容的考查，主要放在不等式的性質(zhì)上，題型多為選擇題或填空題，屬容易題。

例1、(2008廣東文)設(shè)，若，則下列不等式中正確的是(　　 )

A．　　 B. 　　　C. 　　　D.

解：由知, ,所以,故選C.

點評：本題考查絕對值的概念和絕對值的性質(zhì)，如果用特殊值法也能求解。

例2、(2007上海理科)已知為非零實數(shù)，且，則下列命題成立的是(　 )

A、　　 B、　　 C、　　 D、

解：取a＝－3，b＝2，由(A)(B)(D)都錯，故(C)。

點評：特殊值法是解選擇題的一種技巧，在應(yīng)試時要時刻牢記有這么一種方法。這晨a，b沒有說明符號，注意不要錯用性質(zhì)。

考點二：一元二次不等式及其解法

[內(nèi)容解讀]會從實際情況中抽象出一元二次不等式的模型，了解一元二次不等式與函數(shù)方程的聯(lián)系；會解一元二次不等式，會由一元二次不等式的解求原不等式；用同解變形解不等式，分類解不等式；對解含參的不等式，對參數(shù)進行討論；注意數(shù)形結(jié)合，會通過函數(shù)圖象來解不等式．

(1)用圖象法解一元二次不等式

教材中在研究一元二次不等式的解法時，是結(jié)合二次函數(shù)的圖象，利用對應(yīng)的一元二次方程的解得出的，所以我們學習一元二次不等式的解法時，應(yīng)從二次函數(shù)圖象出發(fā)加以理解．

(2)弄清一元二次方程、二次函數(shù)、一元二次不等式三者之間的關(guān)系

二次函數(shù)是研究自變量x與函數(shù)值y之間的對應(yīng)關(guān)系，一元二次方程的解就是自變量為何值時，函數(shù)值的這一情況；而一元二次不等式的解集是自變量變化過程中，何時函數(shù)值()或()的情況．一元二次方程的解對研究二次函數(shù)的函數(shù)值的變化是十分重要的，因為方程的兩根是函數(shù)值由正變負或由負變?yōu)檎�的分界點，也是不等式解的區(qū)間的端點．學習過程中，只有搞清三者之間的聯(lián)系，才能正確認識與理解一元二次不等式的解法．

[命題規(guī)律]高考命題中，對一元二次不等式解法的考查，若以選擇題、填空題出現(xiàn)，則會對不等式直接求解，或經(jīng)常地與集合、充要條件相結(jié)合，難度不大。若以解答題出現(xiàn)，一般會與參數(shù)有關(guān)，或?qū)�參�?shù)分類討論，或求參數(shù)范圍，難度以中檔題為主。

例3、(2007湖南)不等式的解集是(　　 )

A．　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　 D．

解：原不等式可化為x2－x＞0，即x(x－1)＞0，所以x＜0或x＞1，選(D)．

點評：這是一道很簡單的一元二次不等式的試題，只要知道它的解法即可．

例4、(2007福建)“”是“”的什么條件……(　 )

A．充分而不必要　 B．必要而不充分　 C．充要　 D．既不充分也不必要

解：由|x｜＜2，得：－2＜x＜2，由得：－2＜x＜3，

－2＜x＜2成立，則－2＜x＜3一定成立，反之則不一定成立，所以，選(A)。

點評：本題是不等式與充分必要條件結(jié)合的綜合考查題，先解出不等式的解集來，再由充分必要條件的判斷方法可得。

例5、(2008江西文)不等式的解集為　 　　�。�

解：原不等式變?yōu)?img src="http://thumb2018.1010pic.com/pic4/img3/down2010/19/250206/1010jiajiao.files/image125.gif">，由指數(shù)函數(shù)的增減性，得：

，所以填：。

點評：不等式與指數(shù)函數(shù)交匯、不等式與對數(shù)函數(shù)交匯、不等式與數(shù)列交匯是經(jīng)�？疾榈膬�(nèi)容，應(yīng)加強訓(xùn)練。

例6、已知集合，，若，求實數(shù)的取值范圍．

　 解：．

設(shè)，它的圖象是一條開口向上的拋物線．

(1)若，滿足條件，此時，即，

解得；

(2)若，設(shè)拋物線與軸交點的橫坐標為，

且，欲使，應(yīng)有，

結(jié)合二次函數(shù)的圖象，得

即　　解得．

綜上可知的取值范圍是．

點評：本題是一元二次不等式與集合結(jié)合的綜合題，考查含參數(shù)一元二次不等式的解法，注意分類討論思想的應(yīng)用，分類時做到不遺漏。

考點三：簡單的線性規(guī)劃

[內(nèi)容解讀]了解二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域和線性規(guī)劃的意義；了解線性約束條件、線性目標函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念；了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用線性規(guī)劃的方法解決一些簡單的實際問題，以提高解決實際問題的能力．

生產(chǎn)實際中有許多問題都可以歸納為線性規(guī)劃問題．在線性規(guī)劃的實際問題中，主要掌握兩種類型：一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運用這些資源，能使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；二是給定一項任務(wù)，問怎樣安排，能使完成這項任務(wù)耗費的人力、物力資源最�。�

[命題規(guī)律]線性規(guī)劃問題時多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，題型以容易題、中檔題為主，考查平面區(qū)域的面積、最優(yōu)解的問題；隨著課改的深入，近年來，以解答題的形式來考查的試題也時有出現(xiàn)，考查學生解決實際問題的能力。

例7、(2008安徽文)若為不等式組表示的平面區(qū)域，則當從－2連續(xù)變化到1時，動直線 掃過中的那部分區(qū)域的面積為 (　　 )A．　　　　　 B．1 　　 C．　　 D．5

解：如圖知區(qū)域的面積是△OAB去掉一個小直角三角形。

(陰影部分面積比1大，比小,故選C,不需要算出來)

點評：給出不等式組，畫出平面區(qū)域，求平面區(qū)域的面積的問題是經(jīng)�？疾榈脑囶}之一，如果區(qū)域是不規(guī)節(jié)圖形，將它分割成規(guī)節(jié)圖形分別求它的面積即可。

例8、(2008廣東理)若變量x,y滿足，則z=3x+2y的最大值是 (　 )

　 A．90　　 B. 80　 C. 70　　 D. 40

解:做出可行域如圖所示.目標函數(shù)化為：y＝－，令z＝0，畫y＝－，及其平行線，如右圖，當它經(jīng)過兩直線的交點時，取得取大值。

解方程組,得.

所以,故答C.

點評：求最優(yōu)解，畫出可行域，將目標函數(shù)化為斜截式，再令z＝0，畫它的平行線，看y軸上的截距的最值，就是最優(yōu)解。

例9、(2007山東)本公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？

解：設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為分鐘和分鐘，總收益為元，由題意得

　　　 目標函數(shù)為．

　　　 二元一次不等式組等價于

　　　 作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域．

　　　 如圖：

　　　 作直線，

　　　 即．

　　　 平移直線，從圖中可知，當直線過點時，目標函數(shù)取得最大值．　　

　　　 聯(lián)立解得．

　　　 點的坐標為．

　　　 (元)

答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元．

點評：用線性規(guī)劃的方法解決實際問題能提高學生分析問題、解決問題的能力，隨著課改的深入，這類試題應(yīng)該是高考的熱點題型之一。

考點四：基本不等關(guān)系

[內(nèi)容解讀]了解基本不等式的證明過程，會用基本不等式解決簡單的最值問題，理解用綜合法、分析法、比較法證明不等式。

利用基本不等式可以求函數(shù)或代數(shù)式的最值問題：

(1)當都為正數(shù)，且為定值時，有(定值)，當且僅當時，等號成立，此時有最小值；

(2)當都為正數(shù)，且為定值時，有(定值)，當且僅當時，等號成立，此時有最大值．

創(chuàng)設(shè)基本不等式使用的條件，合理拆分項或配湊因式是經(jīng)常用的解題技巧，而拆與湊的過程中，一要考慮定理使用的條件(兩數(shù)都為正)；二要考慮必須使和或積為定值；三要考慮等號成立的條件(當且僅當a=b時，等號成立)，它具有一定的靈活性和變形技巧，高考中常被設(shè)計為一個難點．

[命題規(guī)律]高考命題重點考查均值不等式和證明不等式的常用方法，單純不等式的命題，主要出現(xiàn)在選擇題或填空題，一般難度不太大。

例10、(2007上海理)已知，且，則的最大值是　　　 　　�。�

解： ，當且僅當x=4y=時取等號.

　點評：本題考查基本不等式求最值的問題，注意變形后使用基本不等式。

例11、(2008浙江文)已知( 　 )

(A)　　　　　 (B) 　　　　　 (C)　　　　　　 (D)

解：由,且，∴，∴ 。

點評：本小題主要考查不等式的重要不等式知識的運用。

例12、(2008江蘇)已知，，則的最小值　　　　 ．

解：由得，

代入得，當且僅當＝3 時取“＝”．

點評：本小題考查二元基本不等式的運用．題目有有三個未知數(shù)，通過已知代數(shù)式，對所求式子消去一個未知數(shù)，用基本不等式求解。

考點五：絕對值不等式

[內(nèi)容解讀]掌握絕對值不等式｜x｜＜a，｜x｜＞a(a＞0)的解法，了解絕對值不等式與其它內(nèi)容的綜合。

[命題規(guī)律]本節(jié)內(nèi)容多以選擇、填空題為主，有時與充分必要條件相結(jié)合來考查，難度不大。

例13、(2008湖南文)“|x－1|＜2”是“x＜3”的(　)

A.充分不必要條件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.必要不充分條件

C.充分必要條件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.即不充分也不必要條件　　　　　　　　　

解：由|x－1|＜2得－1＜x＜3，在－1＜x＜3的數(shù)都有x＜3，但當x＜3時，不一定有－1＜x＜3，如x＝－5，所以選(A)．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，充分條件必要條件的解法，可以用特殊值法來驗證，充分性與必要性的成立。

例14、(2008四川文)不等式的解集為(　 　 )

　(A)　(B)　(C)　(D)

解：∵　 ∴ 即， ，

∴　 故選A；

點評：此題重點考察絕對值不等式的解法；準確進行不等式的轉(zhuǎn)化去掉絕對值符號為解題的關(guān)鍵，可用公式法，平方法，特值驗證淘汰法；

考點六：不等式的綜合應(yīng)用

[內(nèi)容解讀]用不等式的性質(zhì)、基本不等式、一元二次不等式等內(nèi)容解決一些實際問題，如求最值，證明不等式等。

[命題規(guī)律]不等式的綜合應(yīng)用多以應(yīng)用題為主，屬解答題，有一定的難度。

例15、(2008江蘇模擬)如圖，某單位用木料制作如圖所示的框架,框架的下部是邊長分別為(單位:米)的矩形,上部是斜邊長為的等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積為8平方米.

(Ⅰ)求的關(guān)系式，并求的取值范圍；

(Ⅱ)問分別為多少時用料最省?

解：(Ⅰ)由題意得：

　　　　　　 　　 4分

(Ⅱ)設(shè)框架用料長度為，

則　 　

當且僅當滿足　　　　　

答：當 米，米時，用料最少.　　

點評：本題考查利用基本不等式解決實際問題，是面積固定，求周長最省料的模型，解題時，列出一個面積的等式，代入周長所表示的代數(shù)式中，消去一個未知數(shù)，這是常用的解題方法。

例16、(2008江蘇模擬)某化工企業(yè)2007年底投入100萬元，購入一套污水處理設(shè)備．該設(shè)備每年的運轉(zhuǎn)費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元．

(1)求該企業(yè)使用該設(shè)備年的年平均污水處理費用(萬元)；

(2)問為使該企業(yè)的年平均污水處理費用最低，該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水

處理設(shè)備？

解：(1)

即()；

　　 (2)由均值不等式得：

(萬元)

　　 當且僅當，即時取到等號．

答：該企業(yè)10年后需要重新更換新設(shè)備．

點評：本題又是基本不等式的一個應(yīng)用，第一問求出函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵，第二問難度不大。

考點七：不等式的證明

[內(nèi)容解讀]證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點．比較法的一般步驟是：作差(商)→變形→判斷符號(值)．

[命題規(guī)律]不等式的證明多以解答題的形式出現(xiàn)，屬中等偏難的試題。

例17、已知a, b都是正數(shù)，并且a ¹ b，求證：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

證明：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 )

= a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3)

= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)

　　　 ∵a, b都是正數(shù)，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0

　　　 又∵a ¹ b，∴(a - b)2 > 0　 ∴(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) > 0

　　　 即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

　點評：作差相減法是證明不等式的常用方法之一，通過作差比較差的結(jié)果的符號是大于0還是小于0，另外，作商也是經(jīng)常使用的方法。

例18、已知，求證

證明：只需證：

即證：

成立

原不等式成立.

點評：用分析法證明不等式也是常用的證明方法，通過分析法，能夠找到證明的思路。

例19、(2007湖北理科)已知m，n為正整數(shù).

(Ⅰ)用數(shù)學歸納法證明：當x>-1時，(1+x)m≥1+mx；

(Ⅱ)對于n≥6，已知，求證，m=1,1,2…，n；

(Ⅲ)求出滿足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整數(shù)n.

解：(Ⅰ)證：當x=0或m=1時，原不等式中等號顯然成立，下用數(shù)學歸納法證明：

當x>-1，且x≠0時，m≥2,(1+x)m>1+mx.　 1

(i)當m=2時，左邊＝1+2x+x2,右邊＝1+2x，因為x≠0,所以x2>0，即左邊>右邊，不等式①成立；

(ii)假設(shè)當m=k(k≥2)時，不等式①成立，即(1+x)k>1+kx,則當m=k+1時，因為x>-1,所以1+x>0.又因為x≠0,k≥2,所以kx2>0.

于是在不等式(1+x)k>1+kx兩邊同乘以1+x得

(1+x)k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,

所以(1+x)k+1>1+(k+1)x,即當m＝k+1時，不等式①也成立.

綜上所述，所證不等式成立.

(Ⅱ)證：當

而由(Ⅰ)，

(Ⅲ)解：假設(shè)存在正整數(shù)成立，

即有()+＝1.�、�

又由(Ⅱ)可得

()+

+與②式矛盾，

故當n≥6時，不存在滿足該等式的正整數(shù)n.

故只需要討論n=1,2,3,4,5的情形；

當n=1時，3≠4，等式不成立；

當n=2時，32+42＝52，等式成立；

當n=3時，33+43+53＝63，等式成立；

當n=4時，34+44+54+64為偶數(shù)，而74為奇數(shù)，故34+44+54+64≠74,等式不成立；

當n=5時，同n=4的情形可分析出，等式不成立.

綜上，所求的n只有n=2,3.

點評：本題考查數(shù)學歸納法、不等式的基本、反證法等內(nèi)容，難度較大。

7、絕對值不等式

(1)｜x｜＜a(a＞0)的解集為：{x｜－a＜x＜a}；

｜x｜＞a(a＞0)的解集為：{x｜x＞a或x＜－a}。

(2)

6、線性規(guī)劃問題的解題方法和步驟

解決簡單線性規(guī)劃問題的方法是圖解法，即借助直線(線性目標函數(shù)看作斜率確定的一族平行直線)與平面區(qū)域(可行域)有交點時，直線在y軸上的截距的最大值或最小值求解。它的步驟如下：

(1)設(shè)出未知數(shù)，確定目標函數(shù)。

(2)確定線性約束條件，并在直角坐標系中畫出對應(yīng)的平面區(qū)域，即可行域。

(3)由目標函數(shù)z＝ax+by變形為y＝－x+，所以，求z的最值可看成是求直線y＝－x+在y軸上截距的最值(其中a、b是常數(shù)，z隨x，y的變化而變化)。

(4)作平行線：將直線ax+by＝0平移(即作ax+by＝0的平行線)，使直線與可行域有交點，且觀察在可行域中使最大(或最小)時所經(jīng)過的點，求出該點的坐標。

(5)求出最優(yōu)解：將(4)中求出的坐標代入目標函數(shù)，從而求出z的最大(或最小)值。

5、不等式的應(yīng)用相當廣泛，如求函數(shù)的定義域，值域，研究函數(shù)單調(diào)性等。在解決問題過程中，應(yīng)當善于發(fā)現(xiàn)具體問題背景下的不等式模型。

用基本不等式求分式函數(shù)及多元函數(shù)最值是求函數(shù)最值的初等數(shù)學方法之一。

研究不等式結(jié)合函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合思想，等價變換思想等。

3、不等式的證明：

不等式證明的常用方法：比較法，公式法，分析法，反證法，換元法，放縮法；

在不等式證明過程中，應(yīng)注重與不等式的運算性質(zhì)聯(lián)合使用；

證明不等式的過程中，放大或縮小應(yīng)適度。

不等式的解法：

解不等式是尋找使不等式成立的充要條件，因此在解不等式過程中應(yīng)使每一步的變形都要恒等。

一元二次不等式(組)是解不等式的基礎(chǔ)，一元二次不等式是解不等式的基本題型。一元二次不等式與相應(yīng)的函數(shù)，方程的聯(lián)系

求一般的一元二次不等式或的解集，要結(jié)合的根及二次函數(shù)圖象確定解集．

對于一元二次方程，設(shè)，它的解按照可分為三種情況．相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖象與軸的位置關(guān)系也分為三種情況．因此，我們分三種情況討論對應(yīng)的一元二次不等式的解集，列表如下：

含參數(shù)的不等式應(yīng)適當分類討論。

不等式的性質(zhì)是證明不等式和解不等式的基礎(chǔ)。

不等式的基本性質(zhì)有：

對稱性：a>bb<a；

傳遞性：若a>b，b>c，則a>c；

可加性：a>ba+c>b+c；

可乘性：a>b，當c>0時，ac>bc；當c<0時，ac<bc。

不等式運算性質(zhì)：

同向相加：若a>b，c>d，則a+c>b+d；

異向相減：，.

正數(shù)同向相乘：若a>b>0，c>d>0，則ac>bd。

(4)乘方法則：若a>b>0，n∈N+，則；

(5)開方法則：若a>b>0，n∈N+，則；

(6)倒數(shù)法則：若ab>0，a>b，則。

2、基本不等式(或均值不等式)；利用完全平方式的性質(zhì)，可得a2+b2≥2ab(a，b∈R)，該不等式可推廣為a2+b2≥2|ab|；或變形為|ab|≤；

當a，b≥0時，a+b≥或ab≤.