8．已知雙曲線的方程為, 直線通過其右焦點F₂，且與雙曲線的右支交于A、B兩點，將A、B與雙曲線的左焦點F₁連結(jié)起來，求|F₁A|·|F₁B|的最小值

解：設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

A到雙曲線的左準線x= ─= ─的距離d=|x₁+|=x₁+，

由雙曲線的定義，=e=,

∴|AF₁|=(x₁+)=x₁+2,

同理，|BF₁|=x₂+2,

∴|F₁A|·|F₁B|=(x₁+2)(x₂+2)=x₁x₂+(x₁+x₂)+4　　 (1)

雙曲線的右焦點為F₂(,0),

(1)當直線的斜率存在時設直線AB的方程為：y=k(x─)，

由消去y得　 (1─4k²)x²+8k²x─20k²─4=0,

∴x₁+x₂=,　 x₁x₂= ─,

代入(1)整理得

|F₁A|·|F₁B|=+4=+4

=+4=+

∴|F₁A|·|F₁B|>;

(2)當直線AB垂直于x軸時，容易算出|AF₂|=|BF₂|=,

∴|AF₁|=|BF₁|=2a+=(雙曲線的第一定義), ∴|F₁A|·|F₁B|=

由(1), (2)得：當直線AB垂直于x軸時|F₁A|·|F₁B|　 取最大值

7． (2006江蘇)已知三點P(5，2)、(－6，0)、(6，0)．

(Ⅰ)求以、為焦點且過點P的橢圓的標準方程；

(Ⅱ)設點P、、關于直線y＝x的對稱點分別為、、，求以、為焦點且過點的雙曲線的標準方程。

解：(I)由題意，可設所求橢圓的標準方程為(a>b>0)，

其半焦距c=6 2=|PF₁|+|PF₂|=+=6

∴=3，b²=a²-c²=45-36=9

所以所求橢圓的標準方程為

(II)點P(5,2)、F₁(-6，0)、F₂(6，0)關于直線y=x的對稱點分別為P´(2,5)、F₁´(0，-6)，F₂´(0，6)

設所求雙曲線的標準方程為(a₁>0,b₁>0)．

由題意知，半焦距c₁=6，

2a₁=||P´F₁´|-|P´F₂´||=|-|=4．

∴a₁=2,b=c-a=36-20=16．

所以所求雙曲線的標準方程為

6． ||PF₁|－|PF₂||=6，cos∠F₁PF₂=

== =0

∴∠F₁PF₂=90°

[解答題]

6．已知雙曲線的方程是16x²－9y²=144,F₁和F₂是雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線上，且|PF₁|·|PF₂|=32，求∠F₁PF₂的大小

簡答提示：1－3．CDC； 4． ； 5． ；

5．(2005山東)設雙曲線的右焦點為，右準線與兩條漸近線交于P、兩點，如果是直角三角形，則雙曲線的離心率e=________．

4．(2005福建)已知F₁、F₂是雙曲線的兩焦點，以線段F₁F₂為邊作正三角形MF₁F₂，若邊MF₁的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是_____

3．　 (2005天津)設雙曲線以橢圓長軸的兩個端點為焦點，其準線過橢圓的焦點，則雙曲線的漸近線的斜率為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( 　)

A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

[填空題]

2．(2005湖南)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，右準線與一條漸近線交于點A，△OAF的面積為(O為原點)，則兩條漸近線的夾角為(　 )

A．30º　　　　　 B．45º　　　　　　　　 C．60º　　　　　　　　 D．90º

1．(2005全國卷II)已知雙曲線的焦點為F₁、F₂，點M在雙曲線上且MF₁⊥x軸，則F₁到直線F₂M的距離為　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．

4．應擅于將幾何關系與代數(shù)關系相互轉(zhuǎn)化,把平面解析幾何問題與向量、平面幾何、三角函數(shù)、函數(shù)、導數(shù)、不等式等有機結(jié)合相互轉(zhuǎn)化;養(yǎng)成整體處理的習慣。

同步練習　　　 8．2雙曲線方程及性質(zhì)

[選擇題]