3．解題中,應(yīng)重視雙曲線兩種定義的靈活應(yīng)用,減少運算量,值提高解題質(zhì)量

2．會利用方程求參數(shù)值和確定曲線的性質(zhì)，利用曲線的范圍、不等式、判別式、目標(biāo)函數(shù)解參數(shù)范圍或求最值。

1．求雙曲線的方程，常用待定系數(shù)法,定義法,首先確定曲線類型和方程的形式，再由題設(shè)條件確定參數(shù)值，應(yīng)“特別”掌握；

(1)雙曲線中的關(guān)系與橢圓中的關(guān)系是不同的，應(yīng)注意區(qū)別；

(2)當(dāng)焦點位置不確定時，方程可能有兩種形式，應(yīng)防止遺漏；

(3)已知漸近線的方程bx±ay=0，可設(shè)雙曲線方程為b²x²－a²y²=λ(λ≠0)，

[例1]根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1) 與雙曲線有共同漸近線，且過點；

(2)雙曲線的焦點在軸上，且過點和，P是雙曲線上異于A、B的任一點，ΔAPB的垂心H總在此雙曲線上。

[解]：(1)設(shè)所求雙曲線方程為，將點代入得，所以雙曲線方程為。

(2)設(shè)雙曲線方程為為雙曲線上任一點，BN，PM是ΔAPB的兩條高，則BN方程為　　 ①　

PM方程為　 ②

又　 ③　　

　得，又H在雙曲線上，∴　 ④

∴，所以雙曲線方程為．

[例2]已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，右頂點為。

　　 (1) 求雙曲線C的方程；

　　 (2) 若直線l：與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且(其中O為原點)，求k的取值范圍。

解：(Ⅰ)設(shè)雙曲線方程為　

由已知得

故雙曲線C的方程為

(Ⅱ)將

由直線l與雙曲線交于不同的兩點得

即　 ①　 設(shè)，則

而

于是　　 ②

由①、②得　

故k的取值范圍為

提煉方法：求參數(shù)的取值范圍是個綜合性的問題,常用的方法有：Δ法,目標(biāo)函數(shù)法,不等式法,幾何法,向量法等．

[例3] 　設(shè)點P到點M(－1，0)、N(1，0)距離之差為2m，到x軸、y軸距離之比為2，求m的取值范圍

分析：由|PM|－|PN|=2m，得||PM|－|PN||=2|m|．知點P的軌跡是雙曲線，由點P到x軸、y軸距離之比為2，知點P的軌跡是直線，由交軌法求得點P的坐標(biāo)，進而可求得m的取值范圍

解：設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，依題意得=2，

即y=±2x(x≠0)　　　　　　　　　　　　　 　 ①

因此，點P(x，y)、M(－1，0)、N(1，0)三點不共線，

從而得　 ||PM|－|PN||<|MN|=2

∵||PM|－|PN||=2|m|>0，　 ∴0<|m|<1

因此，點P在以M、N為焦點，實軸長為2|m|的雙曲線上

故－=1　　　 　　　　　　 ②

將①代入②，并解得x²=，

∵1－m²>0，∴1－5m²>0

解得0<|m|<，

即m的取值范圍為(－，0)∪(0，)

解題點評：解決此題的關(guān)鍵是用好雙曲線的定義,取值范圍的求法是--

[例4]已知雙曲線的離心率，左，右焦點分別的為，左準(zhǔn)線為，能否在雙曲線的左支上找到一點P，使得是P到的距離與的等比中項。

[解]：設(shè)在左半支上存在點P，使，由雙曲線的第二定義知，即　　　　　　 ①

再由雙曲線的第一定義，得　　　 ②

由①②，解得：

由在Δ中有　 ，　　 　　�、�

利用，從③式得　　 解得

，與已知矛盾。

∴符合條件的點P不存在。

思維點撥：利用定義及假設(shè)求出離心率的取值是關(guān)鍵。

[研討．欣賞](2005黃岡調(diào)研)已知橢圓C的方程為+=1(a>b>0)，雙曲線－=1的兩條漸近線為l₁、l₂，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l₁，又l與l₂交于P點，設(shè)l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B．(如下圖)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(1)當(dāng)l₁與l₂夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；

(2)當(dāng)=λ時，求λ的最大值．

剖析：(1)求橢圓方程即求a、b的值，由l₁與l₂的夾角為60°易得=，由雙曲線的焦距為4易得a²+b²=4，進而可求得a、b．

(2)由=λ，欲求λ的最大值，需求A、P的坐標(biāo)，而P是l與l₁的交點，故需求l的方程．將l與l₂的方程聯(lián)立可求得P的坐標(biāo)，進而可求得點A的坐標(biāo)．將A的坐標(biāo)代入橢圓方程可求得λ的最大值．

解：(1)∵雙曲線的漸近線為y=±x，兩漸近線夾角為60°，又<1，

∴∠POx=30°，即=tan30°=．　 ∴a=b．

又a²+b²=4， ∴a²=3，b²=1．　　 故橢圓C的方程為+y²=1．

(2)由已知l：y=(x－c)，與y=x解得P(，)，

由=λ得A(，)．代入橢圓方程得

(c²+λa²)²+λ²a⁴=(1+λ)²a²c²．

∴(e²+λ)²+λ²=e²(1+λ)²．

∴λ²==－［(2－e²)+］+3≤3－2．

∴λ的最大值為－1．

評述：本題考查了橢圓、雙曲線的基礎(chǔ)知識，及向量、定比分點公式、重要不等式的應(yīng)用．解決本題的難點是通過恒等變形，利用重要不等式解決問題的思想．本題是培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題能力的一道好題．

6．(2006湖南)過雙曲線的左頂點作斜率為1的直線, 若與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點,　 且, 則雙曲線的離心率是_______

簡答：1-3、ACCC； 5． +y²＝1； 6． ．

5．(2004全國II)設(shè)中心在原點的橢圓與雙曲線2x²－2y²＝1有公共的焦點，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該橢圓的方程是　　　　　　　　　 　．　

4．(2005北京)已知雙曲線的兩個焦點為，，P是此雙曲線上的一點，且，，則該雙曲線的方程是(　 )

A．　 B．　 C．　 D．

3．(2006浙江)若雙曲線上的點到左準(zhǔn)線的距離是到左焦點距離的，則(　 )

A．　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　 D．

2．(2006天津)如果雙曲線的兩個焦點分別為、，一條漸近線方程為，那么它的兩條準(zhǔn)線間的距離是(　　 )

A．　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

1． (2006春上海)若，則“”是“方程表示雙曲線”的(　 )

　 A．充分不必要條件．　　　　　　　　　 B．必要不充分條件．

　 C．充要條件．　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要條件．