原理：天體對它的衛(wèi)星(或行星)的引力就是衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的向心力．

　　 G=mr，由此可得：M=；ρ===(R為行星的半徑)

由上式可知，只要用實驗方法測出衛(wèi)星做圓周運動的半徑r及運行周期T，就可以算出天體的質量M．若知道行星的半徑則可得行星的密度

規(guī)律方法　 1、萬有引力定律的基本應用

[例1]如圖所示，在一個半徑為R、質量為M的均勻球體中，緊貼球的邊緣挖去一個半徑為R/2的球形空穴后，對位于球心和空穴中心連線上、與球心相距d的質點m的引力是多大？

分析 　把整個球體對質點的引力看成是挖去的小球體和剩余部分對質點的引力之和，即可得解．

解 　完整的均質球體對球外質點m的引力

這個引力可以看成是：m挖去球穴后的剩余部分對質點的引力F₁與半徑為R/2的小球對質點的引力F₂之和，即F=F₁+F₂．因半徑為R/2的小球質量M^/為，

則

所以挖去球穴后的剩余部分對球外質點m的引力

說明　 (1)有部分同學認為，如果先設法求出挖去球穴后的重心位置，然后把剩余部分的質量集中于這個重心上，應用萬有引力公式求解．這是不正確的．萬有引力存在于宇宙間任何兩個物體之間，但計算萬有引力的簡單公式卻只能適用于兩個質點或均勻球體，挖去球穴后的剩余部分已不再是均勻球了，不能直接使用這個公式計算引力．

(2)如果題中的球穴挖在大球的正中央，根據同樣道理可得剩余部分對球外質點m的引力

上式表明，一個均質球殼對球外質點的引力跟把球殼的質量(7M/8)集中于球心時對質點的引力一樣．

[例2]某物體在地面上受到的重力為160 N，將它放置在衛(wèi)星中，在衛(wèi)星以加速度a＝½g隨火箭加速上升的過程中，當物體與衛(wèi)星中的支持物的相互壓力為90 N時，求此時衛(wèi)星距地球表面有多遠？(地球半徑R＝6.4×10³km,g取10m/s²)

解析：設此時火箭上升到離地球表面的高度為h，火箭上物體受到的支持力為N,物體受到的重力為mg^/，據牛頓第二定律．N－mg^/=ma……①

在h高處mg^/＝……②　　 在地球表面處mg=……③

把②③代入①得　　　　 ∴=1.92×10⁴　 km.

說明:在本問題中，牢記基本思路,一是萬有引力提供向心力，二是重力約等于萬有引力．

[例3]有人利用安裝在氣球載人艙內的單擺來確定氣球的高度。已知該單擺在海平面處的周期是T₀。當氣球停在某一高度時，測得該單擺周期為T。求該氣球此時離海平面的高度h。把地球看作質量均勻分布的半徑為R的球體。

解析：根據單擺周期公式：其中l(wèi)是單擺長度，g₀和g分別是兩地點的重力加速度。根據萬有引力公式得其中G是引力常數(shù)，M是地球質量。

由以上各式解得

[例4]登月火箭關閉發(fā)動機在離月球表面112 km的空中沿圓形軌道運動，周期是120.5 min,月球的半徑是1740 km,根據這組數(shù)據計算月球的質量和平均密度．

解析：設月球半徑為R，月球質量為M，月球密度為ρ，登月火箭軌道離月球表面為h，運動周期為T，火箭質量為m，由GMm/r²=m4π²r/T²得M=4π²r³/(GT²)，ρ=M/V，其中V=4π²R³/3，則F_向=mω²r=m4π²(R+h)/T²，F(xiàn)_引=GMm/(R+h)²，火箭沿軌道運行時有F_引=F_向，即GMm/(R+h)²= m4π²(R+h)/T²

故M=4π²(R+h)³/(GT²)²=7.2×10²²kg,ρ=3M/4πR³=3.26×10³kg/m³

[例5]已知火星上大氣壓是地球的1/200．火星直徑約為球直徑的一半，地球平均密度ρ_地=5.5×10³kg/m³，火星平均密度ρ_火=4×10³kg/m³．試求火星上大氣質量與地球大氣質量之比．

分析 　包圍天體的大氣被吸向天體的力．就是作用在整個天體表面(把它看成平面時)的大氣壓力．利用萬有引力算出火星上和地球上的重力加速度之比，即可算出它們的大氣質量之比．

解　 設火星和地球上的大氣質量、重力加速度分別為m_火、g_火、m_地、g_地，火星和地球上的大氣壓分別為據萬有引力公式，火星和地球上的重力加速度分別為

綜合上述三式得

[例6]一個宇航員在半徑為R的星球上以初速度v₀豎直上拋一物體，經ts后物體落回宇航員手中．為了使沿星球表面拋出的物體不再落回星球表面，拋出時的速度至少為多少？

解析：物體拋出后，受恒定的星球引力作用，做勻減速運動，遵循著在地面上豎直上拋時的同樣規(guī)律．設星球對物體產生的“重力加速度”為g_x，則由豎直上拋運動的公式得為使物體拋出后不再落回星球表面，應使它所受到的星球引力正好等于物體所需的向心力，即成為衛(wèi)星發(fā)射了出去。_，這個速度即是這個星球上發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度。

[例7]在“勇氣”號火星探測器著陸的最后階段，著陸器降落到火星表面上，再經過多次彈跳才停下來。

假設著陸器第一次落到火星表面彈起后，到達最高點時高度為h，速度方向是水平的，速度大小為v₀，求它第二次落到火星表面時速度的大小，計算時不計大氣阻力。已知火星的一個衛(wèi)星的圓軌道半徑為r，周期為T�；鹦强梢暈榘霃綖閞₀的均勻球體。

分析：第一次落到火星表面彈起在豎直方向相當于豎直上拋，在最高點由于只有水平速度故將做平拋運動，第二次落到火星表面時速度應按平拋處理。無論是豎直上拋還是平拋的計算，均要知道火星表面的重力加速度g^/。利用火星的一個衛(wèi)星的相關數(shù)據可以求出g^/。

解：設火星的一個衛(wèi)星質量為m，任一物體的質量為m^/，在火星表面的重力加速度為g^/，火星的質量為M。

任一物體在火星表面有:……①　　　 火星的衛(wèi)星應滿足：……②

第一次落到火星表面彈起在豎直方向滿足：v₁²＝2g^/h……③

第二次落到火星表面時速度應按平拋處理：……④

由以上4式可解得

2、討論天體運動規(guī)律的基本思路

基本方法：把天體的運動看成是勻速圓周運動，其所需向心力由萬有引力提供。

[例8]2000年1月26日我國發(fā)射了一顆同步衛(wèi)星，其定點位置與東經98⁰的經線在同一平面內．若把甘肅省嘉峪關處的經度和緯度近似為東經98⁰和北緯α＝40⁰，已知地球半徑R、地球自轉周期T,地球表面重力加速度g(視為常數(shù))和光速c，試求該同步衛(wèi)星發(fā)出的微波信號傳到嘉峪關處的接收站所需的時間(要求用題給的已知量的符號表示)．

解析：設m為衛(wèi)星質量，M為地球質量，r為衛(wèi)星到地球中心的距離，ω為衛(wèi)星繞地心轉動的角速度．由萬有引力定律和牛頓定律有，式中G為萬有引力恒量，因同步衛(wèi)星繞地心轉動的角速度ω與地球自轉的角速度相等，有ω=2π/T；因，得GM=gR²．

設嘉峪關到同步衛(wèi)星的距離為L，如圖所示，由余弦定律得：

所求的時間為t＝L/c．

由以上各式得

[例9]在天體運動中，將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星。它們在相互的萬有引力作用下間距保持不變，并沿半徑不同的同心圓軌道做勻速圓周運動。如果雙星間距為L，質量分別為M1和M2，試計算：(1)雙星的軌道半徑；(2)雙星的運行周期；(3)雙星的線速度。

解析：因為雙星受到同樣大小的萬有引力作用，且保持距離不變，繞同一圓心做勻速圓周運動，所以具有周期、頻率和角速度均相同；而軌道半徑、線速度不同的特點。

(1)根據萬有引力定律

可得：

(2)同理，還有

所以，周期為

(3)根據線速度公式，

[例10]興趣小組成員共同協(xié)作，完成了下面的兩個實驗：①當飛船停留在距X星球一定高度的P點時，正對著X星球發(fā)射一個激光脈沖，經時間t₁后收到反射回來的信號，此時觀察X星球的視角為θ，如圖所示．②當飛船在X星球表面著陸后，把一個彈射器固定在星球表面上，豎直向上彈射一個小球，經測定小球從彈射到落回的時間為t₂.

　　 已知用上述彈射器在地球上做同樣實驗時，小球在空中運動的時間為t，又已知地球表面重力加速度為g，萬有引力常量為G，光速為c，地球和X星球的自轉以及它們對物體的大氣阻力均可不計，試根據以上信息，求：

(1)X星球的半徑R；(2)X星球的質量M；(3)X星球的第一宇宙速度v；

(4)在X星球發(fā)射的衛(wèi)星的最小周期T.

解析：(1)由題設中圖示可知：

(R+½ct₁)sinθ＝R，∴R=

　(2)在X星球上以v₀豎直上拋t₂＝，在地球上以v₀豎直上拋：t＝，，又由，

(3)mg'＝

　(4)當v達第一宇宙速度時，有最小周期T.　

[例11]天體運動的演變猜想。在研究宇宙發(fā)展演變的理論中，有一種說法叫做“宇宙膨脹說”，認為引力常量在慢慢減小。根據這種理論，試分析現(xiàn)在太陽系中地球的公轉軌道平徑、周期、速率與很久很久以前相比變化的情況。

[解析]地球在半徑為R的圓形軌道上以速率v運動的過程中，引力常數(shù)G減小了一個微小量，萬有

引力公式。由于太陽質量M,地球質量m,r均未改變，萬有引力F_引必然隨之減小，并小于公轉軌道上該點所需的向心力(速度不能突變)。由于慣性，地球將做離心運動，即向外偏離太陽，半徑r增大。地球在遠離太陽的過程中，在太陽引力的作用下引起速率v減小，運轉周期增大。由此可以判斷，在很久很久以前，太陽系中地球的公轉軌道半徑比現(xiàn)在小，周期比現(xiàn)在小，速率比現(xiàn)在大。

　　 由引力常量G在慢慢減小的前提可以分析出太陽系中地球的公轉軌道半徑在慢慢變大，表明宇宙在不斷地膨脹。

試題展示

散　　　　　 專題：人造天體的運動

知識簡析　　 　一、衛(wèi)星的繞行角速度、周期與高度的關系

(1)由，得，∴當h↑，v↓

(2)由G=mω²(r+h)，得ω=，∴當h↑，ω↓

(3)由G，得T= ∴當h↑，T↑

設天體表面重力加速度為g,天體半徑為R，由mg=得g=,由此推得兩個不同天體表面重力加速度的關系為

　 重力是萬有引力產生的，由于地球的自轉，因而地球表面的物體隨地球自轉時需要向心力．重力實際上是萬有引力的一個分力．另一個分力就是物體隨地球自轉時需要的向心力，如圖所示，由于緯度的變化，物體做圓周運動的向心力F向不斷變化，因而表面物體的重力隨緯度的變化而變化，即重力加速度g隨緯度變化而變化，從赤道到兩極逐漸增大．通常的計算中因重力和萬有引力相差不大，而認為兩者相等，即m₂g＝G, g=GM/r²常用來計算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一緯度處，g隨物體離地面高度的增大而減小，即g_h=GM/(r+h)²，比較得g_h=()²·g

　 在赤道處，物體的萬有引力分解為兩個分力F_向和m₂g剛好在一條直線上，則有

　　 F＝F_向+m₂g，

所以m₂g=F一F_向＝G－m₂Rω_自²

因地球目轉角速度很小G» m₂Rω_自²,所以m₂g= G

假設地球自轉加快，即ω_自變大，由m₂g＝G－m₂Rω_自²知物體的重力將變小，當G=m₂Rω_自²時，m₂g=0，此時地球上物體無重力，但是它要求地球自轉的角速度ω_自＝，比現(xiàn)在地球自轉角速度要大得多.

(1)內容：宇宙間的一切物體都是互相吸引的，兩個物體間的引力大小，跟它們的質量的乘積成正比，跟它們的距離的平方成反比．

(2)公式：F＝G,其中，稱為為有引力恒量。

(3)適用條件：嚴格地說公式只適用于質點間的相互作用，當兩個物體間的距離遠遠大于物體本身的大小時，公式也可近似使用，但此時r應為兩物體重心間的距離．對于均勻的球體,r是兩球心間的距離．

注意：萬有引力定律把地面上的運動與天體運動統(tǒng)一起來，是自然界中最普遍的規(guī)律之一，式中引力恒量G的物理意義是：G在數(shù)值上等于質量均為1千克的兩個質點相距1米時相互作用的萬有引力．

25.D(①“曾經”“已經”都表示事情完成，前者著眼于過去，后者立足于現(xiàn)在；②“天真”在這里是表示頭腦簡單.想法幼稚，用“愚蠢”語意太重；③“掩蓋”是有意隱瞞.遮蓋，語意較重，“掩飾”是隱瞞缺點.錯誤，語意較輕)

24.C　“傳播”意思是“廣泛散布”，“傳遞”意思是“由一方交給另一方；輾轉遞送”。結合句(1)語境，該填“傳遞”�！胺恋K”意思是“使事情不能順利進行；阻礙”，不能和句中“居民們的健康”搭配�！胺梁Α币馑际恰坝泻τ凇�，能和句中“居民們的健康”搭配。結合句(2)語境，該填“妨害”�！澳�非”和“難道”都是副詞�！澳�非”多用于疑問句中表示疑問或揣測的語氣，一般不表示反問語氣；“難道”多用于反問句，表示反問語氣。結合句(3)語境。該填“難道”

23.D(①"收集"和"搜集"都有"使聚集在一起"的意思，但"搜集"還有到處"尋找"的意思。②性質：指的是一種事物區(qū)別于其他事物的根本屬性；本質：指事物本身所固有的，決定事物性質.面貌和發(fā)展的根本屬性。③此句應用表遞進關系的關聯(lián)詞，以強調偷稅對個人的危害，不能用表并列關系的關聯(lián)詞)

22.B((1)“其間”指某一段時間，可單用，也可說“這其間”；“期間”是某個時期里面，前面通常要加上特定的時間概念，如“春節(jié)期間”“高考期間”。(2)“申冤”主要指自己申訴所受的冤屈，希望得到洗雪；“伸冤”則指洗雪冤屈。(3)“進而”表遞進關系，“從而”表因果關系。)

21.C(注意搭配對象：爆發(fā)---革命，火山-；暴發(fā)---疾病，山洪-，-戶；注意感情色彩：大事--中性；大肆--貶義大事：大力從事，如“大事渲染”；大肆：毫無顧忌地(做壞事)，如“大肆吹噓”“大肆揮霍”“大肆活動”)

20.C(“進而”，繼續(xù)往前，進一步�！皬亩�”，連詞，上文表原因.方法等，下文表結果.目的等�！氨M管”， 連詞，前句表示如且承認某種事實，下文往往有“但是.然而”等表示轉折的連詞跟它呼應。反接上文�！安还堋保�連詞，在任何條件或情況下結果都不會改變，后面常有“都”等副詞與它呼應。“失之”與貶 義詞相關；“有失”常與中性詞或褒義詞搭配。)