2.(09·上海物理·8)牛頓以天體之間普遍存在著引力為依據(jù)，運用嚴密的邏輯推理，建立了萬有引力定律。在創(chuàng)建萬有引力定律的過程中，牛頓　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 AB　 )

A．接受了胡克等科學家關于“吸引力與兩中心距離的平方成反比”的猜想

B．根據(jù)地球上一切物體都以相同加速度下落的事實，得出物體受地球的引力與其質(zhì)量成正比，即Fµm的結(jié)論

C．根據(jù)Fµm和牛頓第三定律，分析了地月間的引力關系，進而得出Fµm₁m₂

D．根據(jù)大量實驗數(shù)據(jù)得出了比例系數(shù)G的大小

解析：題干要求“在創(chuàng)建萬有引力定律的過程中”，牛頓知識接受了平方反比猜想，和物體受地球的引力與其質(zhì)量成正比，即Fµm的結(jié)論，而提出萬有引力定律后，后來利用卡文迪許扭稱測量出萬有引力常量G的大小，只與C項也是在建立萬有引力定律后才進行的探索，因此符合題意的只有AB。

1.(09·全國Ⅰ·19)天文學家新發(fā)現(xiàn)了太陽系外的一顆行星。這顆行星的體積是地球的4.7倍，是地球的25倍。已知某一近地衛(wèi)星繞地球運動的周期約為1.4小時，引力常量G=6.67×10^-11N·m²/kg^2,,由此估算該行星的平均密度為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 D　 )

A.1.8×10³kg/m³ 　　　　　　　B. 5.6×10³kg/m³

C. 1.1×10⁴kg/m³　　　　　　 D.2.9×10⁴kg/m³

解析：本題考查天體運動的知識.首先根據(jù)近地衛(wèi)星饒地球運動的向心力由萬有引力提供,可求出地球的質(zhì)量.然后根據(jù),可得該行星的密度約為2.9×10⁴kg/m³。

2、人造天體的發(fā)射與變軌

[例3]一組太空人乘坐大空穿梭機，去修理位于離地球表面 6．0×10⁵m的圓形軌道上的哈勃太空望遠鏡H．機組人員使穿梭機S進入與H相同的軌道并關閉推動火箭，而望遠鏡則在穿梭機前方數(shù)公里處，如圖所示，設G為引力常數(shù)，而M_E為地球質(zhì)量．(已知：地球半徑為 6．4×10⁶m)

　　 (1)在穿梭機內(nèi)，一質(zhì)量為70kg的太空人的視重是多少？

　　 (2)①計算軌道上的重力加速度的值．

　　　 ②計算穿梭機在軌道上的速率和周期．

(3)①證明穿梭機的總機械能跟成正比，r為它的軌道半徑．

［注：若力 F與位移r之間有如下的關系：F=K／r²(其中K為常數(shù))，則當r由∞處變?yōu)?，F(xiàn)做功的大小可用以下規(guī)律進行計算：　 W＝ K／r(設∞處的勢能為0)］．

　　 ②穿梭機須首先螺旋進入半徑較小的軌道，才有較大的角速度以超前望遠鏡．用上題的結(jié)果判所穿梭機要進入較低軌道時應增加還是減少其原有速率，解釋你的答案．

　　 [解析]：(1)在穿梭機內(nèi)，一質(zhì)量為70kg的太空人的視重為0．

　　 (2)①因為mg^/＝G［M_Em/(R+h)²］，所以 g^/=GM_E／(R+h)²，其中R＝6．4×10⁶m， h＝6．0×10⁵m．g^/=8．2m／s²

　　 ②地球?qū)Υ┧髾C的萬有引力提供向心力．

　　 有：GM_Em/(R+h)²＝mv²/(R+h)=m(2π/T)²(R十h)，

　　 所以v==7．6×10³m／s

　　 T＝＝5．8×10³s．

　　 (3)①因為萬有引力 F ＝GM_Em/r²滿足F＝k(1／r²)(其中 k＝GM_Em為常數(shù))，由“注”可知，當穿梭機與地球之間的距離由∞處變到r時，萬有引力對其所做的功w＝k/r=GM_Em/r，又因為：萬有引力對穿梭機做多少功，其重力勢能就減小多少，若設∞處的勢能為零，則穿梭機在半徑為r的軌道上時。其重力勢能為E=一GM_Em/r，則穿梭機此時的總機械能E_總=E_P十E_k=一GM_Em/r十½mv²．代入(2)中的v值，得：

E_總=一GM_Em/r十½m(GM_E/r)＝一(GM_Em/2)(1／r)

　　 故穿梭機的總機械能跟一1／r成正比，得證．

　　 因為E_總跟一1／r成正比，故進入低軌道時總機械能要減小，故必須減速，使總機械能減小，當速度減小后，在引力場的作用下進行低軌道運行，因引力做正功，動能增加，低軌道環(huán)繞速度v_r^/大于原軌道環(huán)繞速度v_r，又因為v＝ωr，v_r^/＞v_r，r^/＜r，則ω_r^/＞ω_r，從而獲得較大的角速度，則可能趕上哈勃太空望遠鏡．

[例4] 如圖所示，某次發(fā)射同步衛(wèi)星時，先進入一個近地的圓軌道，然后在P點點火加速，進入橢圓形轉(zhuǎn)移軌道(該橢圓軌道的近地點為近地圓軌道上的P，遠地點為同步軌道上的Q)，到達遠地點時再次自動點火加速，進入同步軌道。設衛(wèi)星在近地圓軌道上運行的速率為v₁，在P點短時間加速后的速率為v₂，沿轉(zhuǎn)移軌道剛到達遠地點Q時的速率為v₃，在Q點短時間加速后進入同步軌道后的速率為v₄。試比較v₁、v₂、v₃、v₄的大小，并用小于號將它們排列起來______。

解析：根據(jù)題意有v₂>v₁、v₄>v₃,而v₁、v₄是繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星的線速度，由式②知v₁>v₄,故結(jié)論為v₂>v₁>v₄>v₃。衛(wèi)星沿橢圓軌道由P→Q運行時，由機械能守恒可知，其重力勢能逐漸增大，動能逐漸減小，因此有v₂>v₃。]　　　　　　　　　　　

　　 衛(wèi)星的回收實際上是衛(wèi)星發(fā)射過程的逆過程。

[例5]在空中飛行了十多年的“和平號”航天站已失去動力，由于受大氣阻力作用其繞地球轉(zhuǎn)動半徑將逐漸減小，最后在大氣層中墜毀，在此過程中下列說法正確的是(　 )

　　 A．航天站的速度將加大　　　　 B．航天站繞地球旋轉(zhuǎn)的周期加大

　　 C．航天站的向心加速度加大　　 D．航天站的角速度將增大

　 [解析]由GMm/r²=mv²/r=mrω²=mr(2π/T)²=ma

　　 得v=，　 ω＝．　 T＝2π

可知r減小，v增大，ω增大，T減小，a增大．A、C、 D正確．

[例6]“神舟三號”順利發(fā)射升空后，在離地面340km的圓軌道上運行了108圈。運行中需要進行多次“軌道維持”。所謂“軌道維持”就是通過控制飛船上發(fā)動機的點火時間和推力的大小方向，使飛船能保持在預定軌道上穩(wěn)定運行。如果不進行軌道維持，由于飛船受軌道上稀薄空氣的摩擦阻力，軌道高度會逐漸降低，在這種情況下飛船的動能、重力勢能和機械能變化情況將會是　　　　　　　　　　　　　　

　　 A.動能、重力勢能和機械能都逐漸減小

　B.重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能不變

　C.重力勢能逐漸增大，動能逐漸減小，機械能不變

　D.重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能逐漸減小

[由于阻力很小，軌道高度的變化很慢，衛(wèi)星運行的每一圈仍可認為是勻速圓周運動。由于摩擦阻力做負功所以衛(wèi)星的機械能減小；由于重力做正功所以重力勢能減小；由式②可知衛(wèi)星動能將增大(這也說明重力做的功大于克服阻力做的功，外力做的總功為正)。答案選D。]

[例7]飛船發(fā)射過程是一個加速過程，在加速過程中，宇航員處于__超重狀態(tài)____狀態(tài)。人們把這種狀態(tài)下的重力與靜止在地球表面時的重力的比值稱為耐受力值，用K表示，則K=__ K=1+a/g _____(設宇航員的質(zhì)量為m，加速上升加速度為a)，選擇宇般員時，要求他在此狀態(tài)的耐受值為4≤K≤12，說明飛船發(fā)射時的加速度值的變化范圍­­­­__3g≤a≤11g _______.

[例8]飛船在發(fā)射升空時，如果宇航員是站立的，則他的心血管系統(tǒng)受到何種影響？你認為宇航員采取什么資勢為好？

答：由于在發(fā)射升空過程中，人處于超衙狀態(tài)下，頭部血壓降低，足部血壓升高，使大量血液淤積在下肢靜脈中，嚴重影響靜脈血的回流，使心臟輸出血量不足，造成頭部供血不足，輕則引起視覺障礙，重則可能導致意識喪失，所以宇航員采用平躺姿勢為好。

[例9]航天飛船進入距地表3R_地的軌道繞地球做圓周運動時，質(zhì)量為64kg的宇航員處于_完全失重___狀態(tài)，他的視重為__0___N。實際所受力__40___N。

[例10]若飛船要與軌道空間站對接，飛船為了追上軌道空間站(　 A　 )　　　　

A可以從較低的軌道上加速　　　　　　　　 B可以從較高的軌道上加速

C可以從與空間站同一軌道上加速　　　 　　D無論在什么軌道上，只要加速都行

[例11] 我國的國土遼闊，在東西方向上分布在東經(jīng)70°到東經(jīng)135°的廣大范圍內(nèi)，所以我國發(fā)射的同步通信衛(wèi)星一般定點在赤道上空3.6萬公里，東經(jīng)100°附近。假設某顆通信衛(wèi)星計劃定點在赤道上空東經(jīng)104°的位置。經(jīng)測量剛進入軌道時它位于赤道上空3.6萬公里，東經(jīng)103°處。為了把它調(diào)整到104°處，可以短時間啟動星上的小型發(fā)動機，通過適當調(diào)整衛(wèi)星的軌道高度，改變其周期，從而使其自動“漂移”到預定經(jīng)度。然后再短時間啟動星上的小型發(fā)動機調(diào)整衛(wèi)星的高度，實現(xiàn)最終定點。這兩次調(diào)整高度的方向應該依次是　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 A.向下、向上　　 B.向上、向下　 C.向上、向上　 D.向下、向下

[東經(jīng)103°在東經(jīng)104°西邊，為使衛(wèi)星向東漂移，應使它的周期變小，為此應降低其高度，所以先向下；到達東經(jīng)104°后，再向上。]

[例12]設想宇航員完成了對火星表面的科學考察任務，乘坐返回艙返回圍繞火星做圓周運動的軌道艙，如圖所示．為了安全，返回艙與軌道艙對接時，必須具有相同的速度．求該宇航員乘坐的返回艙至少需要獲得多少能量，才能返回軌道艙？

　　 已知：返回過程中需克服火星引力做功W＝mgR(1一R/r)，返回艙與人的總質(zhì)量為m，火星表面重力加速度為g，火星半徑為R，軌道艙到火星中心的距離為r；不計火星表面大氣對返回艙的阻力和火星自轉(zhuǎn)的影響．

解析：物體m在火星M表面附近時，有＝mg解得GM＝gR²

設軌道艙的質(zhì)量為m₀，速度大小為v，則

返回艙與軌道艙對接時，應具有的動能為E_k=½mv²

聯(lián)立解得

依題意知返回艙返回過程需克服引力做功W＝mgR(1－R/r)

返回艙返回時至少需要能量為W_總=E_k + W=

說明：這是一道關于天體運動的信息題．題中有多個對象，解題時要分清研究對象，選好規(guī)律．

[例13]2003年10月15日上午9時，我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射“神舟五號”載人航天飛船，這是我國首次實現(xiàn)載人航天飛行，也是全世界第三個具有發(fā)射載人航天器能力的國家．“神舟五號”飛船長8. 86 m ;質(zhì)量為7990 kg.飛船在達到預定的橢圓軌道后運行的軌道傾角為42. 4 ⁰，近地點高度200 km，遠地點高度約350 km.實行變軌后，進入離地約350 km的圓軌道上運行，飛船運動14圈后，于16日凌晨在內(nèi)蒙古成功著陸．(地球半徑Ro=-6.4×10⁶ m，地球表面重力加速度g=10 m/s²，··＝5.48，計算結(jié)果保留三位有效數(shù)字)求：

(1)飛船變軌后在軌道上正常運行時的速度．

(2)飛船在圓軌道上運行的周期．

解析：設飛船的質(zhì)量為m，地球質(zhì)量為M.飛船在圓軌道上運行時：

對于地面上質(zhì)量為m₀的物體有：

由上兩式得飛船的運行速度為：

飛船在圓軌道上運行時的周期為：

說明：天體運動的問題，要緊扣兩條主線：萬有引力提供向心力，重力等于萬有引力．

[補例]地球赤道上的N城市想實施一個“人造月亮”計劃，在地球同步衛(wèi)星上用一面平面鏡將太陽光射到地球上，使這座城市在午夜時分有“日出”時的效果，若此時的N城市正值盛夏季節(jié)，地球的半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，地球表面重力加速度為g，太陽在非常遙遠的地方．求

(1)地球同步衛(wèi)星離地心的距離

　(2)懸掛平面鏡的同步衛(wèi)星所在經(jīng)度平面的經(jīng)度與N城的經(jīng)度差α。

(3)此時平面鏡與衛(wèi)星所在經(jīng)度平面的夾角θ

解析：(1)設地球及同步衛(wèi)星的質(zhì)量分別為M,m，則

又：g＝GM/R²，可得：

　(2)過赤道平面的截面圖如圖所示，水平入射光線MA經(jīng)反射后的反射光線AN與地球相切，故∠MAN＝90⁰

　　 衛(wèi)星所在經(jīng)線在平面內(nèi)的投影為OA,N城市所在經(jīng)線在平面內(nèi)的投影為ON,

　　 所以：α＝arccos ( R/r)

　　 θ＝45⁰+arcsin(R/r)

說明：本題的關鍵是理解“午夜萬分有‘日出’時的效果”的含義，并要有一定的空間想象力，且能畫出截面圖，能力要求較高．

試題展示

I．人造衛(wèi)星做圓軌道和橢圓軌道運行的討論

　　 當火箭與衛(wèi)星分離時，設衛(wèi)星的速度為v(此即為發(fā)射速度)，衛(wèi)星距離地心為r,并設此時速度與萬有引力垂直(通過地面控制可以實現(xiàn))如圖所示，則，若衛(wèi)星以v繞地球做圓周運動，則所需要的向心力為：F_向＝

�、佼擣_萬=F_向時，衛(wèi)星將做圓周運動．若此時剛好是離地面最近的軌道，則可求出此時的發(fā)射速度v＝7.9 km/s.

�、诋擣_萬＜F_向時，衛(wèi)星將做離心運動，做橢圓運動，遠離地球時引力做負功，衛(wèi)星動能轉(zhuǎn)化為引力勢能．(神州五號即屬于此種情況)

　③當F_萬＞F_向時，衛(wèi)星在引力作用下，向地心做橢圓運動，若此時發(fā)生在最近軌道，則v＜7.9 km/s，衛(wèi)星將墜人大氣層燒毀。

　 因此：星箭分離時的速度是決定衛(wèi)星運行軌道的主要條件．

2.人造衛(wèi)星如何變軌

衛(wèi)星從橢圓軌道變到圓軌道或從圓軌道變到橢圓軌道是衛(wèi)星技術的一個重要方面，衛(wèi)星定軌和返回都要用到這個技術．

以衛(wèi)星從橢圓遠點變到圓軌道為例加以分析：如圖所示，在軌道A點，萬有引力F_A＞，要使衛(wèi)星改做圓周運動，必須滿足F_A＝和F_A⊥v，在遠點已滿足了F_A⊥v的條件，所以只需增大速度，讓速度增大到＝F_A，這個任務由衛(wèi)星自帶的推進器完成．

　　 這說明人造衛(wèi)星要從橢圓軌道變到大圓軌道，只要在橢圓軌道的遠點由推進器加速，當速度達到沿圓軌道所需的速度，人造衛(wèi)星就不再沿橢圓軌道運動而轉(zhuǎn)到大圓軌道．“神州五號”就是通過這種技術變軌的，地球同步衛(wèi)星也是通過這種技術定點于同步軌道上的．

規(guī)律方法1、處理人造天體問題的基本思路

　由于運行中的人造天體，萬有引力全部提供人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運動的向心力，因此所有的人造地球衛(wèi)星的軌道圓心都在地心．解關于人造衛(wèi)星問題的基本思路：①視為勻速圓周運動處理；②萬有引力充當向心力；③根據(jù)已知條件選擇向心加速度的表達式便于計算；④利用代換式gR²=GM推導化簡運算過程。

注意：①人造衛(wèi)星的軌道半徑與它的高度不同．②離地面不同高度，重力加速度不同，

[例l]設人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，衛(wèi)星離地面越高，則衛(wèi)星的(　 )

A．速度越大　 B．角速度越大　　 C．向心加速度越大；D．周期越長

　　 解析：(1)v與 r的關系： G= m；即(r越大v越小)．所以答案A錯誤．(2)ω與r的關系：G=mω²r ，，即(r越大，ω越小)．所以答案B錯誤．(3)a與r的關系：G=ma，a=GM/r²，即a∝1/r²。衛(wèi)星繞軌道半徑 r運轉(zhuǎn)時的向心加速度與該處的重力加速度g^/相等，所以 g^/＝a， g^/∝1/r²，(r越大．加速度越小)．所以答案C錯誤．(4)T與r的關系：G=mr ，T=2π即T∝( r越大，T越大)．所以答案D正確．

　　 因 GM＝g₀R₀²，所以 T＝2π，當 r=Ro時，T＝T_min＝2π　　 答案：D

說明：可以看出，繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星的軌道半徑r、線速度大小v和周期T是一一對應的，其中一個量確定后，另外兩個量也就唯一確定了。離地面越高的人造衛(wèi)星，線速度越小而周期越大。

[例2]設地球的半徑為R₀，質(zhì)量為m的衛(wèi)星在距地面R₀高處做勻速圓周運動，地面的重力加速度為g₀，則以下說法錯誤的是(　　 )

A.衛(wèi)星的線速度為；　　　　 B.衛(wèi)星的角速度為；

C.衛(wèi)星的加速度為；　　　　　　 D.衛(wèi)星的周期；

解析：在地面：;在高空：；

g=¼g₀；此重力加速度即為衛(wèi)星的向心加速度故C選項錯誤．

衛(wèi)星的線速度故A選項正確．

周期故D選項正確

角速度故B選項正確

當人造天體具有較大的動能時，它將上升到較高的軌道運動，而在較高軌道上運動的人造天體卻具有較小的動能。反之，如果人造天體在運動中動能減小，它的軌道半徑將減小，在這一過程中，因引力對其做正功，故導致其動能將增大。

同樣質(zhì)量的衛(wèi)星在不同高度軌道上的機械能不同。其中衛(wèi)星的動能為，由于重力加速度g隨高度增大而減小，所以重力勢能不能再用E_k=mgh計算，而要用到公式(以無窮遠處引力勢能為零，M為地球質(zhì)量，m為衛(wèi)星質(zhì)量，r為衛(wèi)星軌道半徑。由于從無窮遠向地球移動過程中萬有引力做正功，所以系統(tǒng)勢能減小，為負。)因此機械能為。同樣質(zhì)量的衛(wèi)星，軌道半徑越大，即離地面越高，衛(wèi)星具有的機械能越大，發(fā)射越困難。

(1)衛(wèi)星進入軌道前加速過程，衛(wèi)星上物體超重．

　(2)衛(wèi)星進入軌道后正常運轉(zhuǎn)時，衛(wèi)星上物體完全失重．

　　 衛(wèi)星飛行速度及周期僅由距地高度決定與質(zhì)量無關。

設衛(wèi)星距地面高度為h，地球半徑為R，地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星飛行速度為v，則由萬有引力充當向心力可得v=[GM/(R+h)]^½。知道了衛(wèi)星距離地面的高度，就可確定衛(wèi)星飛行時的速度大小。

不同高度處人造地球衛(wèi)星的環(huán)繞速度及周期見下表：

　　 ⑴近地衛(wèi)星。

　　 近地衛(wèi)星的軌道半徑r可以近似地認為等于地球半徑R，由式②可得其線速度大小為v₁=7.9×10³m/s；由式③可得其周期為T=5.06×10³s=84min。由②、③式可知，它們分別是繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星的最大線速度和最小周期。

　　 神舟號飛船的運行軌道離地面的高度為340km，線速度約7.6km/s，周期約90min。

　　 ⑵同步衛(wèi)星。

“同步”的含義就是和地球保持相對靜止，所以其周期等于地球自轉(zhuǎn)周期，即T=24h。由式G=m= m(r+h)可得，同步衛(wèi)星離地面高度為　 h＝－r＝3·58×10⁷ m即其軌道半徑是唯一確定的離地面的高度h=3.6×10⁴km，而且該軌道必須在地球赤道的正上方，運轉(zhuǎn)方向必須跟地球自轉(zhuǎn)方向一致即由西向東。如果僅與地球自轉(zhuǎn)周期相同而不定點于赤道上空，該衛(wèi)星就不能與地面保持相對靜止。因為衛(wèi)星軌道所在平面必然和地球繞日公轉(zhuǎn)軌道平面重合，同步衛(wèi)星的線速度　 v==3.07×10³m/s　

通訊衛(wèi)星可以實現(xiàn)全球的電視轉(zhuǎn)播，從圖可知，如果能發(fā)射三顆相對地面靜止的衛(wèi)星(即同步衛(wèi)星)并相互聯(lián)網(wǎng)，即可覆蓋全球的每個角落。由于通訊衛(wèi)星都必須位于赤道上空3.6×10⁷m處，各衛(wèi)星之間又不能相距太近，所以，通訊衛(wèi)星的總數(shù)是有限的。設想在赤道所在平面內(nèi)，以地球中心為圓心隔5⁰放置一顆通訊衛(wèi)星，全球通訊衛(wèi)星的總數(shù)應為72個。

方法一：地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力就是衛(wèi)星做圓周運動的向心力．

G=m，v=。當h↑，v↓，所以在地球表面附近衛(wèi)星的速度是它運行的最大速度。其大小為r＞＞h(地面附近)時，=7．9×10³m/s

方法二：在地面附近物體的重力近似地等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，重力就是衛(wèi)星做圓周運動的向心力．

．當r＞＞h時．g_h≈g　　 所以v₁＝=7．9×10³m/s

第一宇宙速度是在地面附近h＜＜r，衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的最大速度．

①　　　 第一宇宙速度(環(huán)繞速度)：v₁=7.9km/s，人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度。也是人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的最大速度。

②　　 第二宇宙速度(脫離速度)：v₂=11.2km/s，使衛(wèi)星掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度。

③　　 第三宇宙速度(逃逸速度)：v₃=16.7km/s，使衛(wèi)星掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度。