4．帶有限制條件的排列問題的解題思想方法：

同步練習(xí)　　 　　　10.1 計(jì)數(shù)原理 排列

[選擇題]

3．正確理解排列的定義,掌握排列為公式：不僅與元素的異同有關(guān)，還與排放的位置、順序有關(guān)。

2.正確區(qū)分兩個(gè)原理：分類問題中，按一類中的每一種方法，做完后這件事就完成了；而分步問題中，必須把每一步都做完才算完成這件事。

1.分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理; 是解決排列、組合問題的算法基礎(chǔ).

[例1]從集合{1，2，3，…，10}中，選出由5個(gè)數(shù)組成的子集，使得這5個(gè)數(shù)中的任何兩個(gè)數(shù)的和不等于11，這樣的子集共有多少個(gè)?

解：和為11的數(shù)共有5組：1與10，2與9，3與8，4與7，5與6，子集中的元素不能取自同一組中的兩數(shù)，即子集中的元素取自5個(gè)組中的一個(gè)數(shù).而每個(gè)數(shù)的取法有2種，所以子集的個(gè)數(shù)為2×2×2×2×2=2⁵=32.

提煉方法：解本題的關(guān)鍵是找出和為11的5組數(shù)，然后再用分步計(jì)數(shù)原理求解.

[例2]二次函數(shù)y=ax²+bx+c的系數(shù)a、b、c，在集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中選取3個(gè)不同的值，則可確定坐標(biāo)原點(diǎn)在拋物線內(nèi)部的拋物線多少條？

　解:由圖形特征分析，a＞0,開口向上，坐標(biāo)原點(diǎn)在內(nèi)部f(0)=c＜0;a＜0,開口向下，原點(diǎn)在內(nèi)部f(0)=c＞0,所以對于拋物線y=ax²+bx+c來講，原點(diǎn)在其內(nèi)部af(0)=ac＜0,則確定拋物線時(shí)，可先定一正一負(fù)的a和c，再確定b,故滿足題設(shè)的拋物線共有CCAA=144條

[例3]有4名男生、5名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法?

(1)甲不在中間,乙必在兩端；

(2)甲不在左端,乙不在右端；

(3)男、女生分別排在一起；

(4)男女相間；

(5)甲、乙、丙三人從左到右順序保持一定.

解：(1)優(yōu)先安排特殊元素.乙的站法有2種,甲的站法有7種,其余隨便站,共有:

=70560種

(2)按甲在不在右端分類分類討論.

甲站右端的有:種;甲不在右端的有:種;

共有: +==287280種

(3)(捆綁法)A·A·A=5760種.

(4)(插空法)先排4名男生有A種方法，再將5名女生插空，有A種方法，故共有A·A=2880種排法.

(5)方法一：(機(jī)會(huì)均等法)9人共有A種排法，其中甲、乙、丙三人有A種排法，因而在A種排法中每A種對應(yīng)一種符合條件的排法，故共有=60480種排法.

方法二：C·A=60480種.

提煉方法：本題集排列多種類型于一題，充分體現(xiàn)了元素分析法(優(yōu)先考慮特殊元素)、位置分析法(優(yōu)先考慮特殊位置)、直接法、間接法(排除法)、捆綁法、機(jī)會(huì)均等法、插空法等常見的解題思路.

[例4]用0~9這十個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)

(1)共有幾個(gè)三位數(shù)?

(2)求所有三位數(shù)的和;

(3)能被4整除的三位數(shù)有多少？

(4)比5231大的四位數(shù)有多少？

解：(1) 百位不能為 “0”,因此共有個(gè);

(2)考慮各數(shù)位上的數(shù)字之和,可得所有三位數(shù)的和為:

(3)只需考慮個(gè),十兩位能被4整除.,這兩位能被4整除的數(shù)(含04,08)共有24個(gè);

①含0的數(shù)有04、08、20、40、60、80,可組成能被4整除的三位數(shù)：6×8=48個(gè)

②不含0，且不重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)有24-6-2=16個(gè)，可組成能被4整除的三位數(shù)：16×8=128個(gè)；

綜上知，共可組成能被4整除的三位數(shù)：48+128=176個(gè)；

(4)①千位上為9,8,7,6的四位數(shù)各有A₉³個(gè);②千位上是5,百位上為3,4,6,7,8,9的四位數(shù)各有A₈²個(gè); ③千位上是5,百位上為2,十位上為4,6,7,8,9的四位數(shù)各有A₇¹個(gè); ④千位上是5,百位上為2,十位上為3且滿足要求的共有5個(gè),因此共有

N=4A₉³+6A₈²+5A₇¹+5=2392種。

[研討.欣賞]8個(gè)人站成一排，其中A、B、C互不相鄰且D、E也互不相鄰的排法有多少種?

解：先排去掉A、B、C外的5個(gè)人，有A種，

再排A、B、C 三人，有A₆³種.

故有A₅⁵·A₆³種(含D、E相鄰).

其中D、E相鄰的有A₂²·A₄⁴·A₅³種.

∴滿足條件的排法種數(shù)為A₅⁵·A₆³－A₂²·A₄⁴·A₅³=11520.

8．(2006湖北)某工程隊(duì)有6項(xiàng)工程需要先后單獨(dú)完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行，工程丙必須在工程乙完成后才能進(jìn)行，又工程丁必須在工程丙完成后立即進(jìn)行，那么安排這6項(xiàng)工程的不同排法種數(shù)是_____________.(用數(shù)字作答)

◆例題簡答:1-3.DAC; 1.六位時(shí)，可裝9×10⁵部，七位時(shí)9×10⁶.∴可增加9×10⁶－9×10⁵=81×10⁵.答案：D;　 　2.A÷A=504.答案：A;　 3. A，A，…中個(gè)位數(shù)字均為0，…； 4. 192; 5. 48;　 6. 2A·A=1152種;　 7. x=6或13(舍)。8. 20.

7.解方程正整數(shù)x=______

6.4棵柳樹和4棵楊樹栽成一行，柳樹、楊樹逐一相間的栽法有_____________種.

5．(2006春上海) 電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有　　　　 種不同的播放方式(結(jié)果用數(shù)值表示).

4.(2005全國II)在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有　　　　　 個(gè).