114．證明平面與平面的垂直的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；

(2)轉(zhuǎn)化為線面垂直.

113．證明直線與平面垂直的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；

(2)轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；

(3)轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；

(4)轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；

(5)轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.

112．證明直線與直線的垂直的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為相交垂直；

(2)轉(zhuǎn)化為線面垂直；

(3)轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；

(4)轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.

111．證明平面與平面平行的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為判定二平面無(wú)公共點(diǎn)；

(2)轉(zhuǎn)化為線面平行；

(3)轉(zhuǎn)化為線面垂直.

110．證明直線與平面的平行的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為直線與平面無(wú)公共點(diǎn)；

(2)轉(zhuǎn)化為線線平行；

(3)轉(zhuǎn)化為面面平行.

109．證明直線與直線的平行的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無(wú)交點(diǎn)；

(2)轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；

(3)轉(zhuǎn)化為線面平行；

(4)轉(zhuǎn)化為線面垂直；

(5)轉(zhuǎn)化為面面平行.

91.圓的切線方程

(1)已知圓．

①若已知切點(diǎn)在圓上，則切線只有一條，其方程是

　.

當(dāng)圓外時(shí), 表示過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程．

②過(guò)圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求k，這時(shí)必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．

③斜率為k的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求b，必有兩條切線．

(2)已知圓．

①過(guò)圓上的點(diǎn)的切線方程為;

②斜率為的圓的切線方程為.

橢圓

l　　　　 橢圓的參數(shù)方程是.

l　　　　 橢圓焦半徑公式 　

，,

l　　　　 焦點(diǎn)三角形：P為橢圓上一點(diǎn)，則三角形的面積S=特別地，若此三角形面積為；

l　　　　 在橢圓上存在點(diǎn)P，使的條件是c≥b,即橢圓的離心率e的范圍是；

l　　　　 橢圓的的內(nèi)外部

(1)點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部.

(2)點(diǎn)在橢圓的外部.

l　　　　 橢圓的切線方程

(1)橢圓上一點(diǎn)處的切線方程是.

　 (2)過(guò)橢圓外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.

　 (3)橢圓與直線相切的條件是.雙曲線

l　　　　 雙曲線的焦半徑公式

，.

l　　　　 雙曲線的內(nèi)外部

(1)點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部.

(2)點(diǎn)在雙曲線的外部.

l　　　　 雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系

(1)若雙曲線方程為漸近線方程：.

　　 (2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為.

　 　(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為(，焦點(diǎn)在x軸上，，焦點(diǎn)在y軸上).

l　　　　 　雙曲線的切線方程

　(1)雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是.

　　 (2)過(guò)雙曲線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是

.

　 (3)雙曲線與直線相切的條件是.

l　　　　 焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛半軸的長(zhǎng)度(即b值)

拋物線

l　　　　 焦點(diǎn)與半徑

l　　　　 焦半徑公式

拋物線，C 為拋物線上一點(diǎn)，焦半徑.

過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng).對(duì)焦點(diǎn)在y軸上的拋物線有類似結(jié)論。

l　　　　 設(shè)點(diǎn)方法

拋物線上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P或 P，其中 .

l　　　　 二次函數(shù)

的圖象是拋物線：

(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)為；

(2)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；

(3)準(zhǔn)線方程是.

l　　　　 拋物線的內(nèi)外部

(1)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部.

點(diǎn)在拋物線的外部.

(2)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部.

點(diǎn)在拋物線的外部.

(3)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部.

點(diǎn)在拋物線的外部.

(4) 點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部.

點(diǎn)在拋物線的外部.

l　　　　 拋物線的切線方程

(1)拋物線上一點(diǎn)處的切線方程是.

　 (2)過(guò)拋物線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.

　 (3)拋物線與直線相切的條件是.

l　　　　 過(guò)拋物線(p>0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于

圓錐曲線共性問(wèn)題

l　　　　 兩個(gè)常見的曲線系方程

(1)過(guò)曲線,的交點(diǎn)的曲線系方程是

(為參數(shù)).

(2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程,其中.當(dāng)時(shí),表示橢圓; 當(dāng)時(shí),表示雙曲線.

l　　　　 直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式

　或

(弦端點(diǎn)A

由方程 消去y得到，,為直線的傾斜角，為直線的斜率).

l　　　　 涉及到曲線上的 點(diǎn)A，B及線段AB的中點(diǎn)M的關(guān)系時(shí)，可以利用“點(diǎn)差法：，比如在橢圓中：

l　　　　 圓錐曲線的兩類對(duì)稱問(wèn)題

(1)曲線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的曲線是.

(2)曲線關(guān)于直線成軸對(duì)稱的曲線是

.

l　　　　 “四線”一方程　

對(duì)于一般的二次曲線，用代，用代，用代，用代，用代即得方程

，曲線的切線，切點(diǎn)弦，中點(diǎn)弦，弦中點(diǎn)方程均是此方程得到.立體幾何

85. 或所表示的平面區(qū)域

設(shè)曲線()，則

或所表示的平面區(qū)域是：

所表示的平面區(qū)域上下兩部分；

所表示的平面區(qū)域上下兩部分.圓

l　　　　 圓的四種方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 .

(2)圓的一般方程 (＞0).

(3)圓的參數(shù)方程 .

(4)圓的直徑式方程 (圓的直徑的端點(diǎn)是、).

l　　　　 圓系方程

(1)過(guò)點(diǎn),的圓系方程是

,其中是直線的方程,λ是待定的系數(shù)．

(2)過(guò)直線:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)．

(3) 過(guò)圓:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)．

l　　　　 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種

若，則

點(diǎn)在圓外;點(diǎn)在圓上;點(diǎn)在圓內(nèi).

l　　　　 直線與圓的位置關(guān)系

直線與圓的位置關(guān)系有三種:

;

;

.

其中.

l　　　　 兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為O₁，O₂，半徑分別為r₁，r₂，

;

;

;

;

.

75.無(wú)理不等式

(1) .

(2).

(3).

l　　　　 指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式

(1)當(dāng)時(shí),

;

.

(2)當(dāng)時(shí),

;

直線方程

l　　　　 斜率公式

①(、).②　 k=tanα(α為直線傾斜角)

l　　　　 直線的五種方程

(1)點(diǎn)斜式 　(直線過(guò)點(diǎn)，且斜率為)．

(2)斜截式 (b為直線在y軸上的截距).

(3)兩點(diǎn)式 ()(、 ()).

(4)截距式　 (分別為直線的橫、縱截距，)

(5)一般式 (其中A、B不同時(shí)為0).

l　　　　 兩條直線的平行和垂直

(1)若，

①_;

②.

(2)若,,且A₁、A₂、B₁、B₂都不為零,

①；

②兩直線垂直的充要條件是 ；即：

l　　　　 夾角公式

(1).

(，,)

(2).

(,,).

直線時(shí)，直線l₁與l₂的夾角是.

l　　　　 到的角公式

(1).

(，,)

(2).

(,,).

直線時(shí)，直線l₁到l₂的角是.

l　　　　 四種常用直線系方程

　(1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數(shù); 經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線系方程為,其中是待定的系數(shù)．

(2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)兩直線,的交點(diǎn)的直線系方程為(除)，其中λ是待定的系數(shù)．

(3)平行直線系方程：直線中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程．與直線平行的直線系方程是()，λ是參變量．

(4)垂直直線系方程：與直線 (A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是,λ是參變量．

l　　　　 點(diǎn)到直線的距離

(點(diǎn),直線：).

l　　　　 或所表示的平面區(qū)域

設(shè)直線，若A>0,則在坐標(biāo)平面內(nèi)從左至右的區(qū)域依次表示 ，，若A<0,則在坐標(biāo)平面內(nèi)從左至右的區(qū)域依次表示 ，，可記為“x 為正開口對(duì)，X為負(fù)背靠背“。(正負(fù)指X的系數(shù)A，開口對(duì)指”<>"，背靠背指"><")

39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系

( 數(shù)列的前n項(xiàng)的和為)

　　　　　 數(shù)列

l　　　　 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；

其前n項(xiàng)和公式為.

l　　　　 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；

其前n項(xiàng)的和公式為

或.

l　　　　 等比差數(shù)列:的通項(xiàng)公式為

；

其前n項(xiàng)和公式為

.

l　　　　 分期付款(按揭貸款)

每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為).

三角函數(shù)

l　　　　 常見三角不等式

(1)若，則.(2) 若，則.

(3) .

l　　　　 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

，=，.

l　　　　 正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

　 　

l　　　　 和角與差角公式

　　 ;

;

.

(平方正弦公式);

.

=(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定, ).

l　　　　 半角正余切公式：

l　　　　 二倍角公式　

...

l　　　　 三倍角公式

.

..

l　　　　 三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)，x∈R及函數(shù)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期；函數(shù)，(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期.

l　　　　 正弦定理　.

l　　　　 余弦定理

;;.

l　　　　 面積定理

(1)(分別表示a、b、c邊上的高).

(2).

(3).

l　　　　 三角形內(nèi)角和定理　

在△ABC中，有

.

l　　　　 在三角形中有下列恒等式：

①

②

l　　　　 簡(jiǎn)單的三角方程的通解

　　 .

　　 .

.

特別地,有

.

　　 .

.

l　　　　 最簡(jiǎn)單的三角不等式及其解集

　　 .

.

　　 .

　　 .

　　 .

.

l　　　　 角的變形：向量

l　　　　 實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律

設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么

(1) 結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.

l　　　　 向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：

(1) a·b= b·a (交換律);(2)(a)·b= (a·b)=a·b= a·(b);

(3)(a+b)·c= a ·c +b·c.

l　　　　 平面向量基本定理　

如果e₁、e ₂是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ₁、λ₂，使得a=λ₁e₁+λ₂e₂．

不共線的向量e₁、e₂叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．

l　　　　 向量平行的坐標(biāo)表示　

　　 設(shè)a=,b=，且b0，則ab(b0).

l　　　　 a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)

a·b=|a||b|cosθ．

l　　　　 a·b的幾何意義

數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．

l　　　　 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)設(shè)a=,b=，則a+b=.

(2)設(shè)a=,b=，則a-b=.　

　　 (3)設(shè)A，B,則.

(4)設(shè)a=，則a=.

(5)設(shè)a=,b=，則a·b=.

l　　　　 兩向量的夾角公式

(a=,b=).

l　　　　 平面兩點(diǎn)間的距離公式

　=

(A，B).

l　　　　 向量的平行與垂直

設(shè)a=,b=，且b0，則

A||bb=λa .

ab(a0)a·b=0.

l　　　　 線段的定比分公式 　

設(shè)，，是線段的分點(diǎn),是實(shí)數(shù)，且，則

().

l　　　　 三角形的重心坐標(biāo)公式

△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、,則△ABC的重心的坐標(biāo)是.

l　　　　 點(diǎn)的平移公式

　.

注:圖形F上的任意一點(diǎn)P(x，y)在平移后圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，且的坐標(biāo)為.

l　　　　 “按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論

(1)點(diǎn)按向量a=平移后得到點(diǎn).

(2) 函數(shù)的圖象按向量a=平移后得到圖象,則的函數(shù)解析式為.

(3) 圖象按向量a=平移后得到圖象,若的解析式,則的函數(shù)解析式為.

(4)曲線:按向量a=平移后得到圖象,則的方程為.

(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然為m=.

l　　　　 三角形五“心”向量形式的充要條件

設(shè)為所在平面上一點(diǎn)，角所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，則

(1)為的外心.

(2)為的重心.

(3)為的垂心.

(4)為的內(nèi)心.

(5)為的的旁心.

不等式

l　　　　 常用不等式：

(1)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．

(2)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．

(3)

(4)柯西不等式

(5).

l　　　　 極值定理

已知都是正數(shù)，則有

(1)若積是定值，則當(dāng)時(shí)和有最小值；

(2)若和是定值，則當(dāng)時(shí)積有最大值.

推廣 已知，則有

(1)若積是定值,則當(dāng)最大時(shí),最大；

當(dāng)最小時(shí),最小.

(2)若和是定值,則當(dāng)最大時(shí), 最小；

當(dāng)最小時(shí), 最大.

l　　　　 一元二次不等式，如果與同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果與異號(hào)，則其解集在兩根之間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.

；

.

l　　　　 含有絕對(duì)值的不等式

當(dāng)a> 0時(shí)，有

.

或.