例3：如圖4所示，AB、AC為不可伸長的輕繩，小球質(zhì)量為m=0.4kg。當(dāng)小車靜止時(shí)，AC水平，AB與豎直方向夾角為θ=37°，試求小車分別以下列加速度向右勻加速運(yùn)動時(shí)，兩繩上的張力F_AC、F_AB分別為多少。取g=10m/s²。(1)；(2)。

圖4

解析：設(shè)繩AC水平且拉力剛好為零時(shí)，臨界加速度為

根據(jù)牛頓第二定律

聯(lián)立兩式并代入數(shù)據(jù)得

當(dāng)，此時(shí)AC繩伸直且有拉力。

根據(jù)牛頓第二定律；，聯(lián)立兩式并代入數(shù)據(jù)得

當(dāng)，此時(shí)AC繩不能伸直，。

AB繩與豎直方向夾角，據(jù)牛頓第二定律，。聯(lián)立兩式并代入數(shù)據(jù)得。

[模型要點(diǎn)]

①物體受到三個(gè)共點(diǎn)力的作用，且兩力垂直，物體處于平衡狀態(tài)(靜止或勻速直線運(yùn)動狀態(tài))。

②條件是：物體所受到的合外力為零，即。

處理方法：(1)正交分解法：這是平衡條件的最基本的應(yīng)用方法。其實(shí)質(zhì)就是將各外力間的矢量關(guān)系轉(zhuǎn)化為沿兩個(gè)坐標(biāo)軸方向上的力分量間的關(guān)系，從而變復(fù)雜的幾何運(yùn)算為相對簡單的代數(shù)運(yùn)算。

即和

具體步驟：①確定研究對象；②分析受力情況；③建立適當(dāng)坐標(biāo)；④列出平衡方程。

若研究對象由多個(gè)物體組成，優(yōu)先考慮運(yùn)用整體法，這樣受力情況比較簡單，要求出系統(tǒng)內(nèi)物體間的相互作用力，需要使用隔離法，因此整體法和隔離法常常交替使用。

常用方法：合成(分解)法；多邊形(三角形)法；相似形法。

動態(tài)平衡的常見問題：①動態(tài)分析；②臨界問題；③極值分析等。

動態(tài)平衡的判斷方法：①函數(shù)討論法；②圖解法(注意適用條件和不變力)；③極限法(注意變化的轉(zhuǎn)折性問題)。

[誤區(qū)點(diǎn)撥]

(1)受力分析：①重力是否有(微觀粒子；粒子做圓周運(yùn)動)；②彈力(彈簧彈力的多解性)；③摩擦力(靜摩擦力的判斷和多解性，和滑動摩擦力F_f并不總等于μmg)；④電磁力。

(2)正確作受力分析圖，要注意平面問題的思維慣性導(dǎo)致空間問題的漏解。

解題策略：①受力分析；②根據(jù)物體受到的合力為0應(yīng)用矢量運(yùn)算法(如正交分解、解三角形法等)求解。③對于較復(fù)雜的變速問題可利用牛頓運(yùn)動定律列方程求解。

[模型演練]

1. (2005年聯(lián)考題)兩個(gè)相同的小球A和B，質(zhì)量均為m，用長度相同的兩根細(xì)線把A、B兩球懸掛在水平天花板上的同一點(diǎn)O，并用長度相同的細(xì)線連接A、B兩小球，然后用一水平方向的力F作用在小球A上，此時(shí)三根細(xì)線均處于直線狀態(tài)，且OB細(xì)線恰好處于豎直方向，如圖5所示，如果不考慮小球的大小，兩球均處于靜止?fàn)顟B(tài)，則力F的大小為(　　 )

A. 0　　　　 B. mg　　　 C. 　　　 D.

圖5

答案：C

例2：物體A質(zhì)量為，用兩根輕繩B、C連接到豎直墻上，在物體A上加一恒力F，若圖2中力F、輕繩AB與水平線夾角均為，要使兩繩都能繃直，求恒力F的大小。

圖2

解析：要使兩繩都能繃直，必須，再利用正交分解法作數(shù)學(xué)討論。作出A的受力分析圖3，由正交分解法的平衡條件：

圖3

　　 ①

　　 ②

解得　　　　　　　 ③

　　　　　 ④

兩繩都繃直，必須

由以上解得F有最大值，解得F有最小值，所以F的取值為。

例1：圖1中重物的質(zhì)量為m，輕細(xì)線AO和BO的A、B端是固定的。平衡時(shí)AO是水平的，BO與水平面的夾角為θ。AO的拉力F₁和BO的拉力F₂的大小是(　　 )

A. 　　　　 B.

C. 　　　　 D.

圖1

解析：以“結(jié)點(diǎn)”O(jiān)為研究對象，沿水平、豎直方向建立坐標(biāo)系，在水平方向有豎直方向有聯(lián)立求解得BD正確。

思考：若題中三段細(xì)繩不可伸長且承受的最大拉力相同，逐漸增加物體的質(zhì)量m，則最先斷的繩是哪根？

22．(14分)

已知函數(shù)f(x)=，

其中n．

(1)求函數(shù)f(x)的極大值和極小值；

(2)設(shè)函數(shù)f(x)取得極大值時(shí)x=，令=23，=，若p≤<q對一切n∈N₊恒成立，求實(shí)數(shù)p和q的取值范圍．

21．(12分)

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)P到M(0，)，N(0，)的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡C．

(1)寫出曲線C的方程；

(2)設(shè)直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，k為何值時(shí)？，此時(shí)的值是多少？

20．(12分)

已知，若函數(shù)，f(x)＝ 在R上連續(xù)．

　求．

19．(12分)

如圖，在正方體ABCD -中E是AB的中點(diǎn)，O是側(cè)面的中心 ．

(1)求證：OB⊥EC ；

(2)求二面角O-DE-A的大小(用反三角函數(shù)表示)．

18．(12分)射擊運(yùn)動員在雙向飛碟射擊比賽中，每輪比賽連續(xù)發(fā)射兩槍，擊中兩個(gè)飛靶得2分，擊中一個(gè)得1分，未擊中0分．某運(yùn)動員在每輪比賽時(shí)，第一槍命中率為　 ，第二槍命中率為　 ，該運(yùn)動員如進(jìn)行兩輪比賽．

(1)求該運(yùn)動員得4分的概率；

(2)若該運(yùn)動員所得分?jǐn)?shù)為ξ ， 求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

17．(12分)求不等式的解集：

　 (1)；　

　 (2)．

16．已知函數(shù)f(x)=1+，則f′(1)=　 　　　　　．