25. 解排列組合問題有哪些規(guī)律?

答:解排列組合問題的規(guī)律是：相鄰問題捆綁法；不鄰問題插空法；多排問題單排法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；有序分配問題法；選取問題先排后排法；至多至少問題間接法．

23．設a、b是平面α外的任意兩條線段，a、b相等能否推出它們在α內的射影相等?反過來呢? 　答：設長度為d的線段所在直線與平面α所成的角為θ，其射影的長度為d′，那么d′＝d·cosθ．因此，決定射影的長度的因素除了線段的長度d外，還有直線和平面所成的角． 　當a＝b，但a、b與平面α所成的角θ₁、θ₂不相等時，a、b在平面內的射影a′、b′不一定相等． 　反過來，當a、b在平面內的射影a′、b′相等，但a、b與平面α所成的角θ₁、θ₂不相等時，a、b也不一定相等． 　24．怎樣通過“折疊問題”來提高空間想象能力和鞏固他們相關的立體幾何知識? 　答：一般地說，這里的問題常常是把一個已知的平面圖形折疊成一個立體圖形(相反的問題是“展平問題”，即把一個已知的立體圖形展平成一個平面圖形)．這就要求學生認清平面圖形中各已知條件的相互關系及其本質，并且在把這一平面圖形折疊成立體圖形以后，能分清已知條件中有哪些發(fā)生了變化，哪些未發(fā)生變化．這些未變化的已知條件都是學生分析問題和解決問題的依據． 　例如選擇題：如圖2(1)，在正方形SG₁G₂G₃中，E，F分別是G₁G₂及G₂G₃的中點，D是EF的中點，現在沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個由四個三角形圍成的“四面體”，使G₁，G₂，G₃三點重合，重合后的點記為G(圖2(2))，那么在四面體S－EFG中必有(　)．

圖2

　A．SG⊥△EFG所在平面 　B．SD⊥△EFG所在平面 　C．GF⊥△SEF所在平面 　D．GD⊥△SEF所在平面 　這道題雖然涉及“四面體”的概念，實際上主要是用來鞏固直線和平面垂直的判定定理和培養(yǎng)學生的空間想象能力．已知的是一個正方形，那么SG₁⊥G₁E，EG₂⊥G₂F，FG₃⊥G₃S，這些條件在折疊后仍然不變．這一點應是學生解決這一問題的主要思路． 　根據這一點，可以看出，折疊后得到的四面體S－EFG中，一定有SG⊥GE，且SG⊥GF，即SG⊥△EFG所在平面．于是應該選A．

18．證明不等式可以運用哪些常用的數學方法? 　答：(1)分析法．從要證明的不等式出發(fā)，尋找使這個不等式成立的某一充分條件，如此逐步往前追溯(執(zhí)果索因)，一直追溯到已知條件或一些真命題為止．例如要證a²+b²≥2ab，我們通過分析知道，a²+b²≥2ab的某一充分條件是a²－2ab+b²≥0，即(a－b)²≥0，因此只要證明(a－b)²≥0就行了．由于(a－b)²≥0是真命題，所以a²+b²≥2ab成立．分析法的證明過程表現為一連串的“要證……只要證……”，最后推至已知條件或真命題． 　(2)綜合法．從已知(已經成立)的不等式或定理出發(fā)，逐步推出(由因導果)所證的不等式成立．例如要證a²+b²≥2ab，我們從(a－b)²≥0，得a²－2ab+b²≥0，移項得a²+b²≥2ab．綜合法的證明過程表現為一連串的“因為……所以……”，可用一連串的“”來代替． 　綜合法的證明過程是分析法的思考過程的逆推，而分析法的證明過程恰恰是綜合法的思考過程．當我們不易找到作為出發(fā)點的不等式來證明結論時，通常改用分析法來證明． 　(3)比較法．根據a＞b與a－b＞0等價，所以要證甲式大于乙式，只要證明甲式減去乙式所得的差式在兩式中的字母的可取值范圍內取正值就可以了．這就是比差法．還有一種比較法是比商法，例如已知甲式、乙式在其中字母的可取值范圍內均取正值，那么要證甲式大于乙式，只要證明甲式除以乙式所得的商式在這一字母取值范圍內均取大于1的值就可以了．比商法較為復雜，使用時務必注意字母的取值范圍． 　(4)逆證法．這是分析法的一種特殊情況，即從要證明的等式出發(fā)，尋找使這個不等式成立的充要條件，如此逐步往前追溯，一直追溯到已知條件或一些真命題為止．逆證法的證明過程表現為一連串的“即”，可用一連串的“?”來代替，最后推至已知條件或真命題． 　(5)放縮法．這也是分析法的一種特殊情況，它的根據是不等式關系的傳遞性--a≤b，b≤c，則a≤c，所以要證a≤c，只要證明“大于或等于a”的b≤c就行了．

(6)反證法．先假定要證的不等式的反面成立，然后推出與已知條件(或已知的真命題)相矛盾的結論，從而斷定反證假定是錯誤的．因而要證的不等式一定成立． 　(7)窮舉法．對要證的不等式按已知條件分成各種情況一一加以證明(防止重復或遺漏某一可能情況)． 　要注意：在證明不等式時，應靈活運用上述方法，并通過運用多種方法來提高他們的思維能力． 　19．怎樣教討論曲線的性質? 　答：在中學里，除了直線這種簡單的情況外，對于較為簡單的曲線，討論其幾何性質一般包括以下四個方面： 　(1)確定曲線的范圍．由曲線方程F(x，y)＝0分別確定變量x與y的取值范圍，從而分別判斷曲線的左、右與上、下部分的“頂點”的分布情況． 　(2)判斷有沒有對稱性．在曲線方程F(x，y)＝0中，如果把x(或y)換成－x(或－y)，方程不變，那么曲線關于y(或x)軸對稱；如果把x與y同時換成－x與－y，方程不變，那么曲線關于原點對稱(這時曲線關于x軸或y軸卻不一定對稱)． 　(3)求出在x軸上的“截距”(即求出曲線與x軸的交點的橫坐標)和y軸上的“截距”(即求出曲線與y軸的交點的縱坐標)．這可以通過解由F(x，y)＝0與y＝0(或x＝0)所組成的方程組求得．注意曲線與坐標軸的交點不一定是曲線的“頂點”． 　(4)判斷有沒有漸近線．對于橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線，還要研究它的離心率在數值上有什么特征，等等． 　20．求軌跡方程的基本方法是什么? 　答：軌跡是動點按照一定的規(guī)律即軌跡條件運動而形成的，這個軌跡條件一旦用動點坐標的數學表達式表示出來，軌跡方程就產生了．因此，求軌跡方程的基本方法是(圖1)

圖1

　這里所謂的“坐標化”，就是把軌跡條件中的各個數、量用動點坐標表示出來．軌跡條件可以表現為不同的形式，其中使它轉化為有利于坐標化的形式正是困難所在． 　21．關于直線和圓錐曲線的關系，主要有哪些問題? 　答：(1)直線和圓錐曲線位置關系的制定； 　(2)切線方程及與相切有關的問題； 　(3)弦長及與弦長有關的問題； 　(4)弦的中點及與此有關的問題； 　(5)曲線關于直線對稱的問題． 　22．在解決與圓錐曲線有關的問題時，怎樣幫助學生運用函數的思想? 　答：不少與圓錐曲線有關的問題中的各個數量在運動變化時，都是相互聯系、相互制約的，它們之間構成函數關系．這類問題若用函數思想來分析、尋找解題思路，會有很好的效果．

17. 在用反三角函數表示直線的傾斜角、兩條異面直線所成的角等時，你是否注意到它們各自的取值范圍及意義？

　　 ①異面直線所成的角、直線與平面所成的角、向量的夾角的取值范圍依次是.

　　 ②直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是．

　　 ③反正弦、反余弦、反正切函數的取植范圍分別是

11．求一個數列的通項公式時，有哪些基本方法？ 　　 答：有以下四種基本方法： 　　 (1)直接法．就是由已知數列的項直接寫出，或通過對已知數列的項進行代數運算寫出． 　　 (2)觀察分析法．根據數列構成的規(guī)律，觀察數列的各項與它所對應的項數之間的內在聯系，經過適當變形，進而寫出第n項a_n的表達式即通項公式． 　　 (3)待定系數法．求通項公式的問題，就是當n＝1，2，…時求f(n)，使f(n)依次等于a₁，a₂，…的問題．因此我們可以先設出第n項a_n關于變數n的表達式，再分別令n＝1，2，…，并取a_n分別等于a₁，a₂，…，然后通過解方程組確定待定系數的值，從而得出符合條件的通項公式． 　　 (4)遞推歸納法．根據已知數列的初始條件及遞推公式，歸納出通項公式． 　12．等差數列有哪些基本性質？ 　　 答：(1)當d＞0時，等差數列中的數隨項數的增大而增大；當d＜0時，等差數列中的數隨項數的減小而減��；當d＝0時，等差數列中的數等于一個常數．注意：不能說等差數列或它的通項公式是一次函數，等差數列只是某個一次函數的一系列孤立的函數值；一次函數是有嚴格定義的，它的定義域是實數集R，圖象是(連續(xù)的)一條直線．這是目前教學中普遍出錯的地方! 　　 (2)在有窮的等差數列中，與首末兩項等距離的兩項的和都相等，且等于首末兩項的和． 　　 (3)如果m+n＝p+q(m，n，p，q都是正整數，那么a_m+a_n＝a_p+a_q)。 　 　　 (4)如果等差數列的各項都加上一個相同的數，那么所得的數列仍是等差數列，且公差不變． 　　 (5)兩個等差數列各對應項的和組成的數列仍是等差數列，且公差等于這兩個數列的公差的和． 　　13．等比數列有哪些基本性質？ 　　 答：(1)當q＞1時，如果存在一項a＞0(或＜0)，那么等比數列中的數隨項數的增大而增大(或減小)；當0＜q＜1時，如果存在一項a＞0(或＜0)，那么等比數列中的數隨項數的增大而減小(或增大)；當q＝1時，等比數列中的數等于同一個常數；當q＜0時，等比數列中的數不具有單調性． 　　 (2)在有窮的等比數列中，與首末兩項等距離的兩項的積都相等，且等于首末兩項的積． 　　 (3)如果m+n＝p+q(m，n，p，q都是正整數)，那么a_m·a_n＝a_p·a_q． 　　 (4)如果數列{a_n}是等比數列，那么它所有的項都不等于0，且所有的a_n·a_n+2＞0． 　　 (5)如果數列{a_n}是等比數列，那么數列{ca_n}(c為常數)，{a_n^－1}，{｜a_n｜}也都是等比數列，且其中{ca_n}的公比不變，{a_n^－1}的公比等于原公比的倒數，{｜a_n｜}的公比等于原公比的絕對值． 　　 (6)兩個等比數列各對應項的積組成的數列仍是等比數列，且公比等于這兩個數列的公比的積． 　　 14．為什么當λ，μ為實數時，有λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a？ 　答：這是因為由實數與向量的積的定義可知，向量λ(μa)，μ(λa)，(λμ)a是互相平行的向量，它們的方向也相同，且 　|λ(μa)|＝|μ(λa)|＝|(λμ)a|＝|λμ|·|a|， 　所以λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a(＝(μλ)a)． 　這個運算律叫做向量數乘的結合律． 　　 15平面向量基本定理的實質是什么？ 　答：平面向量基本定理指出：如果e₁，e₂是同一平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ₁，λ₂，使a＝λ₁e₁+λ₂e₂． 　這個定理告訴我們，平面內任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解為兩個向量的和，并且這種分解是惟一的． 　λe₁+λe₂叫做e₁，e₂的一個線性組合．由平面向量基本定理可知，如果e₁，e₂不共線，那么由e₁，e₂的所有線性組合構成的集合{λ₁e₁+λ₂e₂|λ₁，λ₂∈R}就是平面內的全體向量．所以，我們把e₁，e₂(最好寫成{e₁，e₂}，注意花括弧中e₁，e₂之間必須用逗號)叫做這一平面內所有向量的一組基底，并把基底中的向量叫做基向量． 向量的合成與分解在物理學和工程技術中有著廣泛的應用． 　 16．怎樣歸納確定三角形形狀的思路? 　答：我們知道，三角形的形狀，以角的大小為標準，可以確定其中的銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形；以邊長的關系為標準，可以確定其中的等腰三角形、等邊三角形、直角三角形(包括等腰直角三角形)．用三角知識確定三角形形狀的思路如下表所示：

10.函數的一些重要性質,如何區(qū)別?

　　 ①如果函數對于一切，都有，那么函數的圖象關于直線對稱.

　　 ②函數與函數的圖象關于直線對稱；

　　　 函數與函數的圖象關于直線對稱；

　　　 函數與函數的圖象關于坐標原點對稱.

　　 ③函數與函數的圖象關于直線對稱.

　　 ④若奇函數在區(qū)間上是遞增函數，則在區(qū)間上也是遞增函數．

　　 ⑤若偶函數在區(qū)間上是遞增函數，則在區(qū)間上是遞減函數．

　　 ⑥函數的圖象是把函數的圖象沿x軸向左平移a個單位得到的；

　　 函數(的圖象是把函數的圖象沿x軸向右平移個單位得到的；

函數+a的圖象是把函數助圖象沿y軸向上平移a個單位得到的;

函數+a的圖象是把函數助圖象沿y軸向下平移個單位得到的.

　 ⑦函數的圖象是把函數的圖象沿x軸伸縮為原來的得到的；

函數的圖象是把函數的圖象沿y軸伸縮為原來的a倍得到的.

1.什么是數學方法?中學數學有哪些常用的基本數學方法? 　答：所謂方法，是指人們?yōu)榱诉_到某種目的而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規(guī)則或模式．人們通過長期的實踐，發(fā)現了許多運用數學思想的手段、門路或程序．同一手段、門路或程序被重復運用了多次，并且都達到了預期的目的，就成為數學方法．數學方法是以數學的工具進行科學研究的方法，即用數學語言表達事物的狀態(tài)、關系和過程，經過推導、運算與分析，以形成解釋、判斷和預言的方法． 　數學方法具有以下三個基本特征：一是高度的抽象性和概括性，二是邏輯的嚴密性及結論的確定性，三是應用的普遍性和可操作性． 　數學方法在科學技術研究中具有舉足輕重的地位和作用：一是提供簡潔確定的形式化語言，二是提供數量分析及計算的方法，三是提供邏輯推理的工具．現代科學技術特別是電子計算機的發(fā)展，與數學方法的地位和作用的強化正好是相輔相成． 　在中學數學中經常用到的基本數學方法，大致可以分為以下三類： 　(1)邏輯學中的方法．例如分析法(包括逆證法)、綜合法、反證法、歸納法、窮舉法(要求分類討論)等．這些方法既要遵重邏輯學中的基本規(guī)律和法則，又因為運用于數學之中而具有數學的特色． 　(2)數學中的一般方法．例如建模法、消元法、降次法、代入法、圖象法(也稱坐標法，在代數中常稱圖象法，在學生今后要學習的解析幾何中常稱坐標法)、比較法(數學中主要是指比較大小，這與邏輯學中的多方位比較不同)等．這些方法極為重要，應用也很廣泛． 　(3)數學中的特殊方法．例如配方法、待定系數法、加減法、公式法、換元法(也稱之為中間變量法)、拆項補項法(含有添加輔助元素實現化歸的數學思想)、因式分解諸方法，以及平行移動法、翻折法等．這些方法在解決某些數學問題時也起著重要作用，對于某一類問題也都是一種通法． 　 　2.解不等式時，常用的等價轉化有哪些情況? 答：設y₁和y₂都是x的函數，那么下列各不等式等價： (1) │y₁│≤y₂(y₂≥0)－y₂≤y₁≤y₂， 　　　 │y₁│＞y₂(y₂≥0)y₁＜－y₂或y₁＞y₂； (2) │y₁│≤c(c≥0)y₁²≤c²， 　　　 │y₁│＞c(c≥0)y₁²＞c²； (3) y₁·y₂≥0y₁≥0且y₂≥0，或y₁≤0且y₂≤0， 　　　 y₁·y₂＜0y₁＞0且y₂＜0，或y₁＜0且y₂＞0； (4) y₁／y₂＞0(y₂≠0)y₁·y₂＞0， 　　　 y₁／y₂＜0(y₂≠0)y₁·y₂＜0． 3．怎樣正確理解邏輯聯結詞“或”的意義？ 　答：“或”這個邏輯聯結詞的用法，一般有兩種解釋：一是“不可兼有”，即“a或b”是指a，b中的某一個，但不是兩者．日常生活中有時采用這一解釋．例如“你去或我去”，人們在理解上不會認為有你我都去這種可能．另一是“可兼有”，即“a或b”是指a，b中的任何一個或兩者．例如“x∈A或x∈B”，是指x可能屬于A但不屬于B(“但”在這里實際上等價于另一邏輯聯結詞“且”)，x也可能不屬于A但屬于B，x還可能既屬于A又屬于B(即x∈A∩B)．又如在“p真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，還可能p，q都為真．數學書籍中一般采用后一種解釋，運用數學語言和解數學選擇題時，都要遵守這一點，還要注意“可兼有”并不意味“一定兼有”． 　4． “p或q”“p且q”“非p”這三個復合命題概念后，怎樣進行真假概括？ 　答：(1)對于復合命題“p或q”，當且僅當p，q中至少有一個為真(包括兩個同時為真)時，它是真命題；當且僅當p，q都為假時，它是假命題 　(2)對于復合命題“p且q”，當且僅當p，q都為真時，它是真命題；當且僅當p，q中至少有一個為假(包括兩個同時為假)時，它是假命題． 　(3)對于復合命題“非p”，當且僅當p為真時，它是假命題；當且僅當p為假時，它是真命題． 　以上也可以利用真值表示進行概括． 　可以看出，要使學生正確理解上述概念，還要讓他們熟練掌握并會靈活運用“至少”“最多”“同時”，以及“至少有一個是(不是)”“最多有一個是(不是)”“都是(不是)”“不都是”這些詞語．這也是學習數學的難點之一，需要長期不懈地進行訓練，才能達到要求． 　5．怎樣理解四種命題？怎樣利用反證法來理解四種命題的關系？ 　答：學生在初中未學過否命題和逆否命題．可以舉例來說． 　命題甲：如果∠1、∠2是對頂角，那么∠1＝∠2． 　命題乙：如果∠1＝∠2，那么∠1、∠2是對頂角． 　命題丙：如果∠1、∠2不是對頂角，那么∠1≠∠2． 　命題�。喝绻�∠1≠∠2，那么∠1、∠2不是對頂角． 　這里命題甲、乙互為逆命題；命題丙是把命題甲的條件、結論都加以否定后得到的，所以我們把命題丙叫做命題甲的否命題(注意讓學生把“否命題”一詞與剛學過的邏輯聯結詞“非”的使用區(qū)別開來，“非”通常只否定結論)，并且命題甲、丙互為否命題；命題丁是把命題乙的條件、結論都加以否定后得到的，所以命題乙、丁互為否命題，我們把命題丁叫做命題甲的逆否命題．學生經過仔細分析，可以看出：命題丁也可以通過把命題丙的條件、結論顛倒過來而得到，所以命題丙、丁互為逆命題，我們也可以把命題丁叫做命題甲的否逆命題．命題甲的逆否命題和否逆命題相同，我們一般只用“逆否命題”一詞． 　利用反證法，很容易證明：在四種命題中，原命題與逆否命題同時成立或同時不成立，逆命題與否命題同時成立或同時不成立(可以讓學生就上面的例子試一試)． 　以上就是所謂“四種命題的關系”． 　6．怎樣用推出符號對“充分且不必要條件”“必要且不充分條件”和“充要條件”進行概括？ 　答：(1)若pq，且p，則p是q的充分且不必要條件，q是p的必要且不充分條件； 　　(2)若qp，且pq，則p是q的必要且不充分條件，q是p的充分且不必要條件； 　(3)若pq，且qp，則p是q的充要條件(此時q也是p的充要條件)； 　(4)若pq，且┐pq　┐，則p是q的充要條件(此時q也是p的充要條件)． 　7．怎樣讓正確判斷“充分且不必要條件”“必要且不充分條件”“充要條件”以及“不充分且不必要條件”？ 　答：這四種情況反映了條件p和結論q之間的因果關系，所以在判斷時應該讓學生： 　(1)確定條件是什么，結論是什么； 　(2)嘗試從條件推導結論，從結論推導條件； 　(3)確定條件是結論的什么條件． 　要證明命題的條件是充要的，就既要證明原命題成立，又要證明它的逆命題成立．證明原命題成立即證明條件的充分性，證明逆命題成立即證明條件的必要性． 　8．如何利用已知函數的單調性來判定較復雜函數的單調性？ 　答：如果函數f(x)、g(x)在區(qū)間B上具有單調性，那么在B上： 　(1)f(x)與f(x)+c(c為常數)具有相反的單調性． 　(2)f(x)與c·f(x)當c＞0時具有相同的單調性，當c＜0時具有相反的單調性． 　(3)當f(x)恒不為0時，f(x)與1／f(x)具有相反的單調性． 　(4)當f(x)恒為非負時，f(x)與f(x)具有相反的單調性． 　(5)當f(x)、g(x)都是增(減)函數時，f(x)+g(x)也是增(減)函數． 　(6)設f(x)、g(x)都是增(減)函數，則f(x)·g(x)當f(x)、g(x)兩者都恒大于0時也是增(減)函數，當兩者都恒小于0時是減(增)函數． 　9．什么叫做函數的奇偶性？ 　答：一般地，設有函數f(x)，對于其定義域內的任意一個x值，如果都有f(－x)＝－f(x)，那么稱f(x)是奇函數；如果都有f(－x)＝f(x)，那么稱f(x)是偶函數． 　如果函數f(x)是奇函數或偶函數，那么稱f(x)具有奇偶性． 　函數的奇偶性也是函數的整體性質之一．這里指出以下幾點． 　(1)函數的奇偶性是針對函數的定義域講的．由于任意的x與－x都要在定義域內，所以奇(偶)函數的定義域關于原點對稱．我們在判定函數是否具有奇偶性時，應先確定其定義域關于原點是否對稱．不對稱就沒有奇偶性(定義域對稱，才能使函數圖象關于原點或y軸對稱)． 　(2)既是奇函數又是偶函數的函數，一定有解析式y＝f(x)＝0，但它的定義域可以各色各樣(必須關于原點對稱)，所以不是惟一的．解析式不為f(x)＝0的函數，不可能既是奇函數又是偶函數． 　(3)奇(偶)函數還具有以下性質： 　--兩個奇(偶)函數的和(差)也是奇(偶)函數． 　--兩個函數的積(商，分母恒不為0)，當其奇偶性相同時為偶函數，當其奇偶性相反時為奇函數． 　--奇(偶)函數在其定義域內關于原點對稱的區(qū)間上單調性相同(反)． 　--偶函數一般不存在反函數；如果一個奇函數有反函數，那么其反函數也是奇函數． 　(4)構造奇(偶)函數的簡單方法：設f(x)是定義域關于原點對稱的函數，則 　F₁(x)＝(1／2)(f(x)+f(－x)) 是偶函數，而 　F₂(x)＝(1／2)(f(x)－f(－x)) 是奇函數．顯然，F₁(x)+F₂(x)＝f(x)，所以這樣的f(x)總可以表示成一個偶函數與一個奇函數之和．

80. ---You are so lucky. 　　　　　　 　---What do you mean ____that?　 (2002年春招)

A. for　　　　　　　 B. in　　　　　 C. of　　　　　　　　 D. by

語法復習十七：介 詞

1~5 ABCDA 6~10 BCDBC 11~15 DBABC 16~20 BACBC 21~25 DABCD 26~30 ABCDA 31~35 BCDAB 36~40 ADDCC 41~45 ADBDB 46~50 CCACC 51~55 DDDBC 56~60 DCCBB 61~65 BCACB 66~70 DAACD 71~75 CDCAB 76~80 ACCCD

79. I know nothing about the young lady ___she is from Beijing.

A. except　 　　　　　 B. except for　 　　　 C. except that　 　　 D. besides (2000 上海高考13)

78. Does John know any other foreign language ___French?

A. except　 　 　　　 B. but　　　　　　　　　　 C. besides　 　　　　　 D. beside　 ('89MET. 13)